1.HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho hypebol có phương trình chính tắc

a, Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b, Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c, Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.

Giải chi tiết:

a, Nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì ta có:

Ta có:

Nên các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.

b, Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (xA; 0)

Mà A thuộc hypebol nên

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0).

Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; yB).

Mà B thuộc hypebol nên

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c, M(x0; y0) thuộc hypebol nên ta có

Luyện tập 1: Cho Hypebol

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Giải chi tiết:

a, Có a^2 = 64, b^2 = 36

Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.

b, Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là

2.BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN

Hoạt động 2: Cho điểm M(x0; y0) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính MF1^2 – MF2^2.

b) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A2(a; 0), tức là, MF1 – MF2 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.

c) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A1(–a; 0), tức là, MF2 – MF1 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.

Giải chi tiết:

a, MF1^2 – MF2^2 = (x^2 + 2cx + c^2 + y^2) – (x^2 – 2cx + c^2 + y^2) = 4cx.

b, Ta có: MF1^2 – MF2^2 = 4cx

⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx ⇒ (MF1 + MF2)2a = 4cx

c, Ta có: MF1^2 – MF2^2 = 4cx

⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx ⇒⇒ (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx

⇒ MF1 + MF2 =

Khi đó:

(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2)

Luyện tập 2: Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6

√33 Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Giải chi tiết:

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6√3⇒3⇒ 2a = 6, 2b = 6

⇒a = 3, b = 3√3⇒

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm ta có:

Luyện tập 3: Cho hypebol với hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF2 nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Giải chi tiết:

Có a^2 = 1, b^2 = 3 ⇒a=1,

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1.

Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1.

Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF2 nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó

Hoạt động 3: Cho hypebol có phương trình chính tắc

với các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0). Xét các đường thẳng

Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số theo a và c.

Giải chi tiết:

Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng:

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

Suy ra:

Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng:

điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: d(M,Δ2)

suy ra

Luyện tập 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai e = 2 và một đường chuẩn là x = 8. Lập phương trình chính tắc của (H).

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Hypebol có tâm sai e=2 => c/a=2 => c=2a (1)

Hypebol có một đường chuẩn là

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Vận dụng: Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của hypebol.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là

Theo đề bài, ta có:

Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km

⇒⇒ c – a = 3.

Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

BÀI TẬP

3.7. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.

Giải chi tiết:

Có a^2 = 9, b^2 = 4 ⇒⇒ a = 3, b = 2

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–3; 0), A2(3; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.

Tâm sai

Phương trình các đường chuẩn của hypebol là:

3.8. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc

. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Giải chi tiết:

Có a^2 = 9, b^2 = 7 ⇒a=3

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

3.9. Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng 2√13213, một đường tiệm cận là y=2x/3

c) (H) có tâm sai e=√5e=5, và đi qua điểm

Giải chi tiết:

a, Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Hypebol có nửa trục thực bằng 4 ⇒⇒ a = 4.

Hypebol có tiêu cự bằng 10 ⇒⇒ 2c = 10 ⇒⇒ c = 5

⇒⇒ b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay

b, Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Hypebol có tiêu cự bằng

Hypebol có một đường tiệm cận là

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

c, Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Hypebol có tâm sai

Hypebol đi qua điểm

Nên: (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

3.10. Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là

Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b

=> Tâm sai e =c/a = a√2 /a =√2

Phương trình hai đường tiệm cận là:

y=-bx/a , <=> y=-x

và y=bx/a <=> y=x

3.11. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Giải chi tiết:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là

Hai đường tiệm cận của hypebol là:

hay

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên

Thay vào (*) ta được:

(không đổi)

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

3.12.Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Giải chi tiết:

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

tA, tB, tC, tD lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.tB – v.tC = v(tB – tC) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.tD – v.tA = v(tD – tA) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

c)Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H1) nhận B, C làm tiêu điểm là

Vì MB – MC = 146 nên 2a1 = 146 ⇒⇒ a1 = 73⇒a1^2=5329

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol

nên c1 = 100

=>

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H1) là

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H2) nhận A, D làm tiêu điểm là

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a2 = 292 ⇒⇒ a2 = 146

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol

nên c2 = 300

=>

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H2) là

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H1) và (H2) nên ta có:

(vì theo hình vẽ x, y > 0)

d,