Câu hỏi khởi động: Hình ảnh parabol xuất hiện trong nhiều công trình kiến trúc đẹp. bác Vinh tham quan một công trình kiến trúc có cổng hình parabol với phương trình chính tắc y^2=48x ( theo đơn vị mét). Cổng rộng 192m. Bác dự định làm một mô hình thu nhỏ của nó với tỉ lệ 1:100. Liệu ta có thể giúp bác Vinh lập phương trình chính tắc cho Parabol ứng với mô hình đó, theo đơn vụ mét?

Giải chi tiết:

Học sinh dự đoán theo hiểu biết của mình

Câu hỏi sẽ được trả lời ở phần trả lời câu hỏi vận dụng trang 56 chuyên đề toán 10 kết nối tri thức

1. HÌNH DẠNG CỦA PARABOL

Hoạt động 1: Cho parabol có phương trình chính tắc y^2=2px (H.3.18)

a, Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không?

b, Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

Giải chi tiết:

a, M(xo.yo) thuộc parabol thì Yo^2=2pxo

Có (-Yo)^2=Yo^2=2pXo

Nên N(xo;-yo) cũng thuộc parabol

b, Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

Luyện tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của (P) là

Y^2=2px(p>0)*

Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6)

Thay A(6;6) vào * ta được: p=3

Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là x=-3/2

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN

Hoạt động 2: Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19).

a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol.

b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.

Giải chi tiết:

a, Điểm F có toạ độ là (p/2;0) Và phương trình chuẩn là

b,Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).

Ta viết lại phương trình <=> x+0.y+p/2=0

Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là:

Luyện tập 2: Cho parabol có phương trình y^2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

Giải chi tiết:

Có 2p = 8 ⇒p = 4 ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0)

và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4^2 = 8x ⇒ x = 2.

Vậy M(2; 4).

Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là

MF=x+p/2= 2+4/2= 4

Luyện tập 3: Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là

.

Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là

Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là p/2

=>p/2=106=>p=212

Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y^2=424x

Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng x=p/2 thì M có hoành độ là x=106

Vậy khoảng cách từ sao chổi đến tâm mặt trời là:

MF=x+p/2 =106+106=212(km)

Vận dụng: Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.

a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;

b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;

c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;

d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Giải chi tiết:

a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).

Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96

⇒96^2=48x=> x=192

Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.

b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:

– Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).

– Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).

c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y^2=2px(p>0)

Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là

=(1,92;0)

=> 0,96^2= 2p.1,92 => p=0,24

Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y^2 = 0,48x.

d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là

Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m

⇒ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).

Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất.

BÀI TẬP

3.13. Cho parabol có phương trình y^2 = 12x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.

Giải chi tiết:

Có 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.

Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là:

3.14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm . Tìm bán kính qua tiêu và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y^2 = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm

Bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là MF= x+p/2 = x+3/2

Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là

p = 3.

3.15. Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hinh 3.20. Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh bát đáy và trục Ox đi qua dây tóc (tiêu điểm).

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y^2 = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = 20 thì y = 15 hoặc y = –15,

do đó 15^2 = 2p.20 ⇒ p = 5,625.

Khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy là

p/2= 5,625/2=2,815(cm).

3.16. Anten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng enten là 240 cm, khoảng cách từ vị tri đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y^2 = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = p + 130 thì y = 120 hoặc y = –120,

do đó 120^2 = 2p( p/2 + 130) ⇒ p ≈ 46,92.

Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là p/2=23,26(cm)