CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Bằng quan sát, ta có cảm nhận rằng ba hình a), b), c) bằng nhau. Nếu cắt giấy, lấy riêng ra từng hình, thì ta có thể xếp chồng khít hai hình b) và c) với nhau, hay úp khít hai hình a) và b) (cũng như hai hình a) và c)) vào nhau. Đối tượng toán học nào cho phép ta diễn đạt hai hình bằng nhau?

Ta hãy cùng tìm hiểu trong bài học này.

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 5:

PHÉP DỜI HÌNH

HĐ1

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong các tính chất sau?

a) Biến một vectơ thành vectơ bằng nó.

b) Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

d) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Giải:

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất c) trong các tính chất đã cho:

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

Khái niệm

Phép biến hình được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Chú ý:

+ Ta có thể chứng minh được rằng phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, có tâm là ảnh của tâm; biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng; biến đường thẳng thành đường thẳng.

+ Hai hình và được gọi là bằng nhau, nếu có phép dời hình biến hình thành .

+ Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm đều bảo toàn khoảng cách nên chúng là những phép dời hình.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ , gọi là phép biến hình biến mỗi điểm có toa độ thành điểm có toạ độ

a) Chứng minh rằng là một phép dời hình.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm , nếu biến thành thì khác

c) có là phép nào trong các phép đối xứng trục, phép quay, phép tịnh tiến hay không?

Giải:

a) Hai điểm bất kì có ảnh qua tương ứng là ,

Khi đó

Do đó, là một phép dời hình.

b) Phép dời hình biến điểm thành điểm có toạ độ

Do nên khác .

c) Vì phép đối xứng trục biến mỗi điểm trên trục đối xứng thành chính nó và phép quay biến tâm quay thành chính nó, nên từ b) ta có không thể là phép đối xứng trục hay là phép quay.

Các điểm tương ứng có ảnh là

Ta có Do nên không thể là phép tịnh tiến.

Vậy mặc dù là một phép dời hình, nhưng nó không phải là phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay.

LUYỆN TẬP

Trong mặt phẳng toạ độ ở Hình 1.34, gọi là phép biến hình biến mỗi điểm có toạ độ thành điểm có toạ độ Trong các khẳng định sau, khẳng địnhnào đúng?

a) biến thành

b) biến thành

c) biến thành .

Giải:

Ta thấy:

, , , , , , , và

+ Phép biến hình biến điểm thành điểm có tọa độ hay chính là điểm .

Phép biến hình biến điểm thành điểm có tọa độ hay chính là điểm .

Phép biến hình biến điểm thành điểm có tọa độ hay chính là điểm .

Do đó, phép biến hình biến thành nên khẳng định đúng và khẳng định sai.

+ Phép biến hình biến điểm thành điểm có tọa độ .

Do đó, phép biến hình không biến thành nên khẳng định b) sai.

Vậy trong các khẳng định đã cho, chỉ có khẳng định c) đúng.

Chú ý

+ Phép biến hình trong Luyện tập trên có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục và phép tịnh tiến theo vectơ .

+ Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình và ( trước, sau) ta cũng được một phép dời hình, tức là, nếu biến mỗi điểm thành điểm , biến điểm thành , thì phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm cũng là một phép dời hình.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại . Một đường thẳng đi qua (khác đường chéo) cắt các cạnh tương ứng tại (H.1.36). Chứng minh rằng hai tứ giác và bằng nhau.

Giải:

Ta có là trung điểm của các đường chéo và

Ta có

Do đó , suy ra

Phép đối xứng tâm biến các điểm tương ứng thành các điểm , do đó biến tứ giác thành tứ giác

Vậy hai tứ giác và bằng nhau.

VẬN DỤNG

Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:

a) Biến Hình a) thành Hình b).

b) Biến Hình b) thành Hình c).

c) Biến Hình a) thành Hình c).

d) Biến Hình c) thành Hình a).

Giải:

a) Phép đối xứng trục .

b) Phép tịnh tiến theo vectơ .

c) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục và phép tịnh tiến theo vectơ .

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ và phép đối xứng trục .

LUYỆN TẬP

Bài 1.16 (SGK – tr.23) Trong mặt phẳng toạ độ , cho vectơ . Những khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

a) Phép đối xứng trục biến mỗi điểm thành điểm

b) Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm thành điểm

c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình và ( trước, sau) ta được phép dời hình biến mỗi điểm thành điểm

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình và biến điểm thành điểm

--------------- Còn tiếp ---------------