BÀI 8: QUAN HỆ CHIA HẾT VÀ TÍNH CHẤT

1. QUAN HỆ CHIA HẾT

Cho hai số tự nhiên a và b ( b 0).

+ Nếu có k ∋ N : a = kb, ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là a b

+ Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu a ⋮̸ b.

VD: 15 = 3 . 5 => 15 ⋮ 3

16 : 3 = 5 dư 1 => 16 ⋮̸ 3

?

Ví dụ 1:

Việt có số kẹo là 12. 35. Vì 35 ⋮ 5 nên ( 12.35) ⋮ 5, do đó Việt có thể chia đều số kẹo cho mỗi tổ.

* Ước và bội:

- Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

VD: 15 ⋮ 3 => Ta nói 3 là ước của 15 và 15 là bội của 3.

?:

Bạn Vuông trả lời đúng. Vì 15 ⋮ 6 => 5 là ước của 15.

* Cách tìm ước và bội:

+ Ư(12) = { 1; 2; 3; 4; 6; 12}

+ B (8) = { 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72}

- Muốn tìm các ước của a ( a> 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 -> a, ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.

- Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân lần lượt số đó với 0; 1; 2; 3;..

Ví dụ 2:

a) Ta thấy 15 chia hết cho 1; 3; 5; 15 nên Ư ( 15) = { 1; 3; 5; 15}

b) Các bội của 6 nhỏ hơn 30 là: 0; 6; 12; 18; 24.

Luyện tập 1:

a) Ư ( 20 ) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20}

b) Các bội nhỏ hơn 50 của 4 là:

4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48.

Thử thách nhỏ:

Ba số là 2; 4; 6.

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

* Trường hợp chia hết:

+ 15 ⋮ 5 ; 25 ⋮ 5

=> 15 + 25 = 40 ⋮ 5

+ 7 ⋮ 7 ; 14 ⋮ 7 ; 21 ⋮ 7

=> 7 + 14 + 21 = 42 ⋮ 7

- Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

• Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì ( a+b) ⋮ m
• Nếu a ⋮ m và b ⋮ m và c ⋮ m thì ( a + b + c) ⋮ m

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu chẳng hạn 30 ⋮ 3 và 18 ⋮ 3

=> ( 30 – 18) ⋮ 3

Ví dụ 3:

Vì 6 ⋮ 3, 15 ⋮ 3 và 30 ⋮ 3 nên (6 + 15 + 30) ⋮ 3

Luyện tập 2:

a) Vì:

24 ⋮ 4

48 ⋮ 4

=> (24 + 48) 4

b) Vì:

48 ⋮ 6

12 ⋮ 6

36 ⋮ 6

=> ( 48 + 12 - 36 ) ⋮ 6

Vận dụng 1:

Vì 21 ⋮ 7 nên để ( 21 + x) ⋮ 7 thì x ⋮ 7.

Do đó x ⋮{ 14; 28}

* Trường hợp không chia hết:

+ 10 ⋮ 5 ; 9 ⋮̸ 5

=> (10 + 9) = 19 ⋮̸ 5

+ 8 ⋮ 4 ; 10 ⋮̸ 4

=> (10 + 8) = 18 ⋮̸ 4

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

• Nếu a ⋮ m và b ⋮̸ m thì (a + b) ⋮̸ m.
• Nếu a ⋮ m, b m và c ⋮̸ m thì ( a + b + c) ⋮̸ m.

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn:

45 ⋮ 5 và 7 ⋮̸ 5 => ( 45 -7) ⋮̸ 5

15 ⋮̸ 4 và 8 ⋮ 4 => ( 15 -8) ⋮̸ 4

Ví dụ 4:

Vì 5 ⋮ 5; 45 ⋮ 5 và 2019 ⋮̸ 5

=> ( 5 + 45 + 2019 ) ⋮̸ 5

Ví dụ 5:

Vì số bút trong các hộp bút bằng nhau nên tổng số bút trong 4 hộp là một số chia hết cho 4. Vì 50 không chia hết cho 4 nên tổng số bút lớp 6A được thưởng không chia đều được cho 4 tổ.

Luyện tập 3:

a) Vì 20 ⋮ 5 và 81 ⋮̸ 5

=> (20 + 81) ⋮̸ 5

b) Vì 34 ⋮̸ 4 ; 28 ⋮̸ 4 và 12 ⋮̸ 4

=> ( 34 + 28 -12) ⋮̸ 4

Vận dụng 3:

Vì 20 ⋮ 5; 45 5 nên để 20 + 45 + x không chia hết cho 5 thì x ⋮̸ 5. Do đó x ∈ { 39; 54}.

Tranh luận:

Bạn Tròn nói đúng. Vì 3 và 5 không chia hết cho 4 nhưng 3 + 5 lại chia hết cho 4.