BÀI 12: BỘI CHUNG, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1. SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ

* Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số:

+ B (6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72;…}

B (9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;…. }

+ BC (6; 9) = {0; 18; 36; 54; 72;… }

+ Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC (6; 9) = {18}

+ Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

+ Bội chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp tất cả các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

+ BC (a;b) là tập hợp các bội chung của a và b;

+ BCNN (a, b) là ước chung nhỏ nhất của a và b.

*Chú ý: Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

Ví dụ 1:

B (4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}

B (6) = {0; 12; 18; 24; 30; …}

BC( 4; 6) = {0; 12; 24; …}

=> BCNN( 4, 6) = 12

Ví dụ 2:

Để mua cùng số lượng n cái mỗi loại thì n € BC (4,6).

Để mua ít nhất thì n = BCNN (4, 6) =12.

Vậy Mai có thể mua ít nhất 12 cái mỗi loại hay mua 3 gói đĩa và 2 gói cốc.

* Tìm BCNN trong trường hợp đặc biệt:

+ Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

Nếu a ⋮ b thì BCNN ( a , b) = a.

VD: Vì 21 ⋮ 7 nên ta có BCNN (7, 21) = 21

+ Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó mọi số tự nhiên a và b ( khác 0), ta có:

BCNN ( a , 1) = a; BCNN (a , b , 1) = BCNN (a , b)

?

B (36) = { 0; 36; 72; 108; 144;…}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108; 117; 126; 135; 144; …}

=> BCNN ( 36 , 9) = {36}

Luyện tập 1:

a) B (6) = { 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;...}

=> BCNN (6 , 8) = {24}

b) B (8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80;...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90;…}

B(72) = { 0; 72; 144; …}

=> BCNN (8, 9, 72) = {72}

Vận dụng :

Gọi số tháng ít nhất mà lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng là: x ( tháng, x € N^*)

=> x = BCNN ( 6,9)

Ta có B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36;…}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; …}

=> BCNN (6; 9) = {18}

Vậy sau ít nhất 18 tháng thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng. Cụ thể là tháng 11 năm sau, hai máy mới cùng bảo dưỡng.

2. CÁCH TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

* Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

B1: Phân tích ra thừa số nguyên tố;

B2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

?:

9 = 3²

15 = 3.5

=> BCNN (9, 15) = 3².5 = 45

Ví dụ 3: SGK – tr 51

* Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất :

B1: Tìm BCNN của các số đó.

B2: Tìm các bội của BCNN đó.

?

BCNN (8, 6) = 24

=> BC ( 8, 6) = B (24) = {0; 24; 48; 72; 96; 120;…}

Ví dụ 4: SGK – tr 51

Luyện tập 2:

15 = 3.5

54 = 2. 3³

=> BCNN (15, 54) = 2.3³.5 = 270

=> BC nhỏ hơn 1000 của 15 và 54 = {270; 540; 810}

Thử thách nhỏ:

a) Gọi thời gian ba xe xuất bến cùng một lúc là x (phút, x € N^*).

=> x € BC ( 15, 9, 10)

15 = 3.5

9 = 3²

10 = 2.5

=> BCNN (15, 9, 10) = 2.3².5 = 90

=> BC (15, 9, 10) = B(90) = {0; 90; 180; 270; 360; …}

=> Cứ sau 90 phút thì ba xe lại xuất bến cùng một lúc.

Vậy từ 10h35 đến 22h các xe xuất bến cùng lúc vào các giờ: 12h05; 13h35; 15h05; 16h35; 18h05; 19h35; 21h05.

3. QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN SỐ

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số.

+ Để quy đồng mẫu hai phân số

ta tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

VD: Để quy đồng mẫu hai phân số

ta làm như sau:

Ta có BCNN(8,12) = 24

?

Ta có: BCNN (9,15) = 45

Nên 79=7.59.5=3545

415=4.315.3=1245

Ví dụ 5:

Ta có: BCNN (8, 9, 6) = 72

Nên 38=3.98.9=2772

59=5.89.8=4072

16=1.36.12=372

Ví dụ 6: SGK-tr52

Luyện tập 3:

1. Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) Ta có: BCNN ( 12, 15) = 60

b) Ta có: BCNN (7, 9, 12) = 252

2.

a) BCNN ( 8, 24) = 24

b) BCNN (16,12) = 48

=> 716= 7 . 3 16 . 3=2148

512= 5 . 4 12 . 4=2048

Vậy 716 - 512 = 2148 - 2048 = 148