CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Nhìn những tấm bản đồ hành chính Việt Nam ở dưới, ta thấy chúng giống nhau về hình dạng, hơn nữa, tấm a) và tấm d) còn giống nhau về cả kích thước. Toán học thể hiện điều đó như thế nào?

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH

NỘI DUNG BÀI HỌC

Phép biến hình

Ảnh của một hình qua một phép biến hình

01 PHÉP BIẾN HÌNH

Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.

Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc?

Giải:

Với mỗi điểm M trong mặt phẳng thì có duy nhất một điểm M' đối xứng với M qua điểm O cho trước.

Nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M, Hoa đặt đồng xu ở ví trí M' đối xứng với M qua O (vị trí chính giữa tờ giấy mà Hoa đặt trước), thì mỗi lần Hưng đặt đồng xu tiếp sau, Hoa đều xác định được duy nhất một vị trí để đặt đồng xu của mình tương ứng. Cứ như vậy, Hoa sẽ đặt được đồng xu lên vị trí cuối cùng còn trống của mảnh giấy, do đó Hưng sẽ là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu.

Vậy Hưng là người thua cuộc và Hoa là người thắng cuộc.

Kết luận

Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để ứng với mỗi điểm thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất điểm thuộc mặt phẳng đó.

Điểm được gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình đó.

Chú ý

• Nếu kí hiệu một phép biến hình là và là ảnh của điểm qua , thì ta nói biến điểm thành điểm . Ảnh của qua được kí hiệu là .
• Phép biến hình biến mỗi điểm thành chính được gọi là phép đồng nhất.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng .

a) Với mỗi điểm , gọilà hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh rằng quy tắc cho tương ứng điểm với điểm là một phép biến hình.

b) Gọi là một đường thẳng bất kì vuông góc với . Chứng minh rằng tất cả các điểm thuộc có cùng ảnh qua phép biến hình trên.

Giải:

a) Mỗi điểm đều có duy nhất hình chiếu vuông góc trên (H.1.1).

Do đó, quy tắc cho tương ứng điểm với điểm như trên là một phép biến hình.

b) Gọi là giao điểm của và . Khi đó, tất cả các điểm trên đều có hình chiếu vuông góc trên là . Do đó, các điểm này có cùng ảnh là qua phép biến hình nói trên.

02 ẢNH CỦA MỘT HÌNH
QUA MỘT PHÉP
BIẾN HÌNH

HĐ2

Trên mặt phẳng tọa độ , cho phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm

a) Xét các điểm thuộc ∆: . Xác định các ảnh của chúng qua .

b) Chứng minh rằng nếu là điểm thuộc đường thẳng ∆: thì ảnh của nó thuộc đường thẳng ∆

Giải:

a) Ảnh của điểm qua phép biến hình là điểm hay .

Ảnh của điểm qua phép biến hình là điểm hay

Ảnh của điểm qua phép biến hình là điểm hay

b) Vì thuộc

nên

Thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ; ta có:

(đúng)

Suy ra thuộc đường thẳng .

Kết luận

Với mỗi hình , ta gọi hình gồm các điểm , trong đó , là ảnh của hình qua phép biến hình , và viết . Khi đó, ta cũng nói biến hình thành hình .

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ , với mỗi số dương khác 1 cho trước, xét phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm

a) Điểm là ảnh của điểm nào qua ?

b) Chứng minh rằng, phép biến hình biến đường tròn

Giải:

b) Lấy điểm thuộc đường tròn , khi đó và có ảnh là

Vậy, nếu điểm thuộc đường tròn thì ảnh của nó thuộc elip .

thuộc đường tròn .

Vậy biến đường tròn thành elip

--------------- Còn tiếp ---------------