CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Trong tự nhiên, cuộc sống, Toán học, Kiến trúc và Hội họa, ta bắt gặp nhiều hình ảnh cân đối. Sự cân đối có thể mang lại vẻ đẹp, làm nên sự vững chắc và nhiều điều ý nghĩa khác. Ở lớp 6, ta đã biết nhận ra các hình ảnh hai chiều có trục đối xứng. Bài học này cho phép ta diễn đạt chính xác và rõ ràng hơn về chúng.

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 3:

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.

a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới dòng sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới song của bóng điện nào trên cầu?

Giải

a) Trục đối xứng là đường thẳng trên mặt nước và giao với các chân cầu.

b) Trên hình ảnh ta có thể thấy rõ 5 hình bóng điện dưới dòng sông, chúng tương ứng là ảnh dưới sông của 5 bóng điện trên cầu.

KHÁI NIỆM

Cho đường thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó và biến mỗi điểm không thuộc thành điểm sao cho là đường trung trực của đoạn thẳng được gọi là phép đối xứng trục , kí hiệu .

Chú ý

+ Nếu là ảnh của qua thì cũng là ảnh của qua . Do đó, nếu hình là ảnh của hình qua thì cũng là ảnh của qua , và ta nói và đối xứng với nhau qua .

+ Hình nhận đường thẳng là trục đối xứng khi và chỉ khi biến thành chính nó.

Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng toạ độ , tìm toạ độ ảnh của các điểm qua phép đối xứng trục

Giải

Toạ độ của điểm thoả mãn phương trình đường thẳng . Do đó, thuộc và có ảnh qua phép đối xứng trục chính là

Điểm không thuộc . Gọi là ảnh của qua phép đối xứng trục (H.1.14).

Do là đường trung trực của đoạn thẳng nên trung điểm của đoạn thẳng thuộc và đường thẳng vuông góc với .

Giải

Đường thẳng đi qua và nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương.

Do đó phương trình tham số của đường thẳng là

Giả sử toạ độ của là

Vậy điểm có ảnh qua phép đối xứng trục là

Luyện tập 1.

Xét mặt phẳng toạ độ (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.

a) Phép đối xứng trục biến mỗi điểm thành điểm có toạ độ

b) Phép đối xứng trục biến mỗi điểm thành điểm có toạ độ

c) Phép đối xứng trục biến thành điểm

Giải

Từ hình vẽ ta thấy:

+) Phép đối xứng trục biến mỗi điểm thành điểm .

+) Phép đối xứng trục biến mỗi điểm thành điểm .

Do đó, phép đối xứng trục biến điểm thành .

Vậy khẳng định a), b) đúng và c) sai.

2. TÍNH CHẤT

Cho phép đối xứng trục biến thành thành . Xét hệ trục toạ độ sao cho trục trùng với (H.1.16a). Giả sử có toạ độ là có toạ độ là

a) Hãy cho biết toạ độ của

b) Tính theo toạ độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng

Giải

a) và lần lượt là ảnh của và qua phép đối xứng trục (trục ).

Do đó và

b) Ta có:

c) Ta có:

Do đó

hay

TÍNH CHẤT

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Phép đối xứng trục biến:

+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

+ Tam giác thành tam giác bằng nó;

+ Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và tâm là ảnh của tâm;

+ Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;

+ Tia thành tia;

+ Góc thành góc bằng nó;

+ Đường thẳng thành đường thẳng;

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường tròn

Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đối xứng trục :

Giải

Ta có , nên có tâm và bán kính .

Đường tròn ảnh có bán kính và có tâm đối xứng với qua .

Tương tự Ví dụ 1, ta tính được toạ độ của là

Vậy có phương trình là .

Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục .

Giải

Gọi là ảnh của qua phép đối xứng trục . Khi đó và .

Ta có:

thuộc đường thẳng có phương trình là .

Ví dụ 3 : Cho đường thẳng và hai điểm không thuộc đường thẳng đó. Tìm điểm thuộc để nhỏ nhất.

Giải

Trường hợp 1. và thuộc hai nửa mặt phẳng bờ (H.1.18a). Khi đó đoạn thẳng và đường thẳng giao nhau tại một điểm.

Ta có , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng . Mặt khác thuộc , do đó, nhỏ nhất bằng , khi là giao điểm của và đoạn thẳng

--------------- Còn tiếp ---------------