Khởi động

Ông An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: một phần trong quỹ thị trường tiền tệ (là một loại quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào các sản phẩm tài chính ngắn hạn như tin phiểu kho bạc, trải phiều ngắn hạn, chứng chỉ tiên gửi....) với tiền lãi nhận được là 3% một năm. Một phần trong trái phiếu chính phủ với tiền lãi nhận được là 4% một năm và phần còn lại trong một ngân hàng với tiền lãi nhận được là 7% một năm. Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn váo trái phiểu chính phủ là 80 triệu đồng và tổng số tiên lãi thu được sau năm đầu tiên ở cả ba quỹ là 13.4 triệu đồng. Hỏi ông An đã đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại quỹ?

Giải chi tiết:

Khởi động

Ông An đâu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: một phân trong quỹ thị trường tiền tệ (là một loại quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào các sản phẩm tải chinh ngắn hạn như tin phiểu kho bạc, trải phiều ngắn hạn, chứng chỉ tiên gửi....) với tiền lãi nhận được là 3% một năm. Một phần trong trái phiếu chính phủ với tiền lãi nhận được là 4% một năm và phần còn lại trong một ngân hàng với tiền lãi nhận được là 7% một năm. Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn váo trái phiểu chính phủ là 80 triệu đồng và tổng số tiên lãi thu được sau năm đầu tiên ở cả ba quỹ là 13.4 triệu đồng. Hỏi ông An đã đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại quy?

Trả lời

Gọi một phần trong quỹ thị trường tiền tệ của ông An là X (x,y,z>0)

=> Tiền lãi ông An nhận được sau một năm là 3%x

Một phần trong trái phiếu chính phủ là Y

=> Tiền lãi ông An nhận được sau một năm là 4%y

Phần còn lại trong ngân hàng là Z

=> Tiền lãi ông An nhận được sau một năm là 7%z

Từ đó ta có hệ sau:

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Ví dụ 1:

Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (1:2:-3) có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a, b,

Giải chi tiết:

a, Bộ ba số (–3; 2;–1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (–3) + 2 . 2 – 3 . (–1) = 1, đây là đẳng thức sai.

b, Bộ ba số (–3; 2;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

–(–3) + 2 + (–1) = 4

2 . (–3) + 2 – 3 . (–1) = –1

3 . (–3) – 2 . (–1) = –7.

Luyện tập 1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (-3;2;-1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a,

b,

Giải chi tiết:

a, Bộ ba số (-3,2,-1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

(-3) + 2.2 -3.(1)=1

Đây là đẳng thức sai

b, Bộ ba số (-3;2;-1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều cho nghiệm đúng

-(-3) +2 +(-1) = 4

2.(-3) + 2 -3.(-1) =-1

3.(-3) - 2.(-1) = -7

2.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Hoạt động 2: Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác

Cho hệ phương trình

Giải chi tiết:

• Từ phương trình cuối ta tính được Z = 2
• Thay Z = 2 vào phương trình thứ hai ta được y+2=7, suy ra y =5
• Thay Y = 5 và Z = 2 vào phương trình đầu ta được

x+5 - 2.2+ 3, suy ra x=2.

Luyện tập 2: Giải hệ phương trình

Giải chi tiết:

Từ phương trình đầu ta tính được x= 3/2
Thay x= 3/2 vào phương trình thứ hai ta được 3/2
y=2, suy ra y=1/2
Thay x=3/2 và y=1/2 vào phương trình thứ ba ta được

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x,y,z)=

Hoạt động 3. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

Cho hệ phương trình

a, Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng. Viết phương trình nhận được( phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hau của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu)

b, Khử ẩn của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên( đã khử x ở hai phương trình cuối)

c, Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ 2 và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dang tam giác nhận được.

d, Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Giải chi tiết:

a, Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất , ta được:

b, Nhân phương trình thứ nhất với -2 và cộng với phương trình thứ ba, ta được:

⇔ –y – 5z = –11

⇔ y + 5z = 11.

Hệ mới nhận được sau hai bước trên là :

c, Lấy phương trình thứ hai rừ phương trình thứ ba, ta được:

(y + 2z) – (y + 5z) = 8 – 11

⇔ –3z = –3 ⇔ z = 1.

Hệ tam giác nhận được là:

d, Ta có:

Vậy nghiệm của hệ đã cho là ( x;y;z) = (-1;6;1)

Luyện tập 3: Giải các hệ phương trình sau

a, b, c,

Giải chi tiết:

a, <=>

=>

b,

Từ hai phương trình cuối, suy ra -15= -19 ( Vô lí)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c,

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y= 5z+5.

Rút x theo z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được x=-2z-2

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghệm của hệ là:

S= .

Vận dụng 1. Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hóa đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

Giải chi tiết:

Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả lần lượt là x,y,z ( nghìn đồng)

Theo đề bài, ta có:

– Số tiền tổng cộng là 820 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 820 (1).

– Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng,

suy ra 1/2x - y = 5 hay x – 2y = 10 (2).

– Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng,

suy ra z – y = 210 hay –y + z = 210 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 310, y = 150, z = 360.

Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng.

3. TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG MÁY TÍNH

Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của hệ phương trình trong ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 5 và luyện tập 3.

Giải chi tiết:

Ví dụ 3:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = 0.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = 1.

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (0; 1; 1).

Ví dụ 4:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra No-Solution.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 5:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra Infinite Sol.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.

Luyện tập 3:

a, Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x =25/37

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = 55/37

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = −2/37

Vậy nghiệm của hệ đã cho là

b, Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra No-Solution.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c, Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra Infinite Sol.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.

Vận dụng 2: Tại một quốc gia khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

Giải chi tiết:

Giả sử mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt x, y, z (%) trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

Theo đề bài, ta có:

– Ba nhóm động vật chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng,

suy ra x + y + z = 55 (1).

– Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, suy ra y – z = 0,7 (2).

– Nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú,

suy ra z – x = 1,5 hay –x + z = 1,5 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 17,1; y = 19,3; z = 18,6.

Vậy mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt 17,1%; 19,3%; 18,6% trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

Bài tập

1.1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2;0,-1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

a,

b,

Giải chi tiết:

a) Đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Bộ ba số (2; 0;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 – 2 . (–1) = 4;

2 . 2 + 0 – (–1) = 5;

–3 . 2 + 2 . 0 = –6.

b) Đây không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa

1.2. Giải các hệ phương trình sau:
a,

b,

Giải chi tiết:

a,

b,

1.3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

Giải chi tiết:

a,

Rút x theo y từ phương trình thứu hai của hệ ta được

Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được:

z = x – 3y + 6 =

Vậy hệ đã cho có nghiệm của hệ là

S=

d,

Từ hệ cuối ta suy ra được -6=3 (vô lí)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e,

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được Y=

Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được:

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là

1.4. Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Gọi lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng,

suy ra x + y = 164 (1).

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng,

suy ra x + z = 156 (2).

– Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng,
suy ra x – z = 8 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 82, y = 82, z = 74.

Vậy lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là 82, 82, 74 triệu đồng.

1.5. Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng,

suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra:

108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X,

suy ra x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

1.6. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

a, Giả sử (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng

b, Sử dụng kết quả của câu a, Chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Giải chi tiết:

a, Vì (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên nên:

Mặt khác do (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1) phân biệt nên cũng đôi một phân biệt với (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1).

Do đó: cũng là một nghiệm của hệ.

b, Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Ta có : (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (Xo;Yo;Zo), (X1;Y1;Z1),....(Xn;Yn;Zn)

Ta chọn ra hai nghiệm (Xi;Yi;Zi)., và (Xj;Yj;Zj) thỏa mãn Xj và Yj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A=(Xo;X1;...Xn)

Sau đó áp dụng câu a vào ta được cũng là một nghiệm của hệ phương trình.

Mặt khác (Xi+Xj)/2 khác Xi; Xj và < Max( Xi;Xj) nên không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n+1 nghiệm phân biệt => Điều này vô lí.

Vậy hệ này có vô số nghiệm.