1.TAM GIÁC PASCAL

Hoạt động 1: Khai triển (a+b)^n, n thuộc {1;2;3;4;5}

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a^2 + 2ab + b^2

(a + b)3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a + b)4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

(a + b)5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5

Với n ∈ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)^n:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Giải chi tiết:

a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là an và số hạng cuối cùng là bn.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

Hoạt động 2: Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)^n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)n.

? Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.

Giải chi tiết:

a) (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b

b)(a+b)^8= a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8

Luyện tập 1:

a, Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+b)^7

b, Sử dụng tam giá Pascal viết khai triển của (2x-1)^4

Giải chi tiết:

a, (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b

b, (2x – 1)^4 = [(2x + (–1)]^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(–1) + 6(2x)^2(–1)^2 + 4(2x)(–1)^3 + (–1)^4 = 16x^4 – 32x^3 + 24x^2 – 8x + 1.

Hoạt động 3: Tính chất của kCn

a,Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu

(a + b)1 = a + b = C01a+C01bC10a+C10b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2+C12ab+C02b2C20a2+C21ab+C20b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3+C13a2b+C23ab2+C03b3C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = ...

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánhTừ đó hãy dự đoán hệ thức giữa

Giải chi tiết:

a) (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

b, Ta thấy

Dự đoán:

2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Luyện tập 2: Khai triển (x-2y)^6

Giải chi tiết:

(x-2y)^6

=

=

Luyện tập 3: Tìm hệ số của X^7 trong khai triển đa thức của (2-3x)^10

Giải chi tiết:

Số hạng chứa x7 trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)^10 hay (–3x + 2)^10 là

Vậy hệ số của x^7 trong khai triển thành đa thức là –2099520.

Vận dụng:

a, Viết khai triển nhị thức Newton của (1+x)^n

b, Cho x=1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này và lưu ý rằng chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hơn có n phần tử.

c, Tương tự, cho x=-1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Giải chi tiết:

a, Ta có:

b, Cho x=-1, ta được:

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2^n

c, Cho x=-1, ta được

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hợp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

BÀI TẬP

2.9. Sử dụng tam giá Pascal, viết khai triển:

a, (x-1)^5

b, (2x-3y)^4

Giải chi tiết:

a,

b,

2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton

a, (x+y)^6

b, (1-2y)^5

Giải chi tiết:

a, (x+y)^6

b, (1-2y)^5= [(-2x)+1]^5

2.11.Tìm hệ số của x^8 trong khai triển của (2x-3)^10.

Giải chi tiết:

Số hạng chứa X^8 trong khai triển của (2x+3)^10 là

Vậy hệ số của x^8 trong khai triển của (2x + 3)^10 là 103680.

2.12. Biết hệ số của x^2 trong khai triển của (1-3x)^n là 90. Tìm n

Giải chi tiết:

Số hạng chứa x^2 trong khai triển của (1 – 3x)^n hay [(–3x) +1]^n là

Vậy hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 9(2Cn)

2.13. Từ khai triển biểu thức (3x-5)^4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Giải chi tiết:

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)^4

=(3x)^4 + 4(3x)^3(–5) + 6(3x)^2(–5)^2 + 4(3x)(–5)^3 + (–5^)4

=81x^4 – 540x^3 + 1350x^2 – 1500x + 625.

Vậy các hệ số của đa thức này là :

81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

2.14. Tìm các hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức

x(1-2x)^5 +X^2(1+3x)^10.

Giải chi tiết:

Số hạng chứa x^4 trong khai triển của (1 – 2x)^5

hay [(–2x) +1]5 là

Vậy hệ số của x^4 trong khai triển của (1 – 2x)^5 là 80

⇒ Hệ số của x^5 trong khai triển của x(1 – 2x)^5

là 1.80 = 80 (1).

Số hạng chứa x^3 trong khai triển của (1 + 3x)^10

hay [3x +1]^10 là

Vậy hệ số của x^3 trong khai triển của (1 + 3x)^10 là 3240

⇒ hệ số của x^5 trong khai triển của x^2(1 + 3x)^10 là 1.3240 = 3240 (2).

Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức

x(1 – 2x)^5 + x^2(1 + 3x)^10 là 80 + 3240 = 3320.

2.15. Tính tổng sau đây

Giải chi tiết:

=

=

=

=-1

2.16. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

Giải chi tiết:

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

Do đó:

Mặt khác, áp dụng câu b, phần vận dụng trang 36 ta có:

= 2^2n/2 = 2^2n-1 => 2n-1=2021

=> n=1011

2.17.Tìm số nguyên dương n sao cho

Giải chi tiết:

Ta có:

=> 3^n= 234

=> n=5

2.18. Biết rằng (2+x)^100= a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x^100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?

Giải chi tiết:

Ta có: Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)^100 hay (x +2)^100 là

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)^100 là:

Giải bất phương trình: ak ≤ a(k + 1) (1).

⇔ 2(k + 1) ≤ 100 - k ⇔ 3k ≤ 98 ⇔ k ≤ 32 (vì k là số tự nhiên).

Vì ak ≤ a(k + 1) ⇔ k ≤ 32 nên ak ≥ a(k + 1) ⇔ k ≥ 3đó a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak