2.19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>= 1, ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2ⁿ⁺¹

Giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n = 1 ta có 2.2¹ = 4 = 1.2¹⁺¹

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k = k.2^k+1.

Chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^k+1 = (k + 1)2^(k+1)+1

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

2.20. Đặt

a, Tính S1, S2, S3?

b, Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp

Giải chi tiết:

a, S1=1/1.3=1/3

S2= 1/1.3+1/3.5=2/5

S3= 1/1.3+1/3.5+1/5.7 =3.7

b, Từ a ta dự đoán được Sn= n/(2n+1)

Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp tho n ta có:
Với n = 1 ta có S1=1/3= 1/(2.1+1)

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1

Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk= k/(2k+1)

Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n=k+1

Nghĩa là ta chứng minh

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

2.21.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^(2n + 1) + 1 chia hết cho 11.

Giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1.

Với n = 0 ta có 10^(2.0 + 1) + 1 = 11⁝11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10(2k + 1) + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

10^(2(k + 1) + 1) + 1

= 10^((2k + 1) + 2 )+ 1

= 100.10^(2k + 1) + 1

= 100.10^(2k + 1) + 100 – 100 + 1

= 100(10^(2k + 1) + 1) – 100 + 1

= 100(10^(2k + 1) + 1) – 99.

Vì 10^(2k + 1) + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^(2k + 1) + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

2.22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5^(n) ≥ 3^(n) + 4^(n).

Giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5^(2) = 25 = 3^(2) + 4^(2).

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^(k) ≥ 3^(k) + 4^(k).

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với

n = k + 1,

nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^(k + 1) ≥ 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^(k + 1) = 5.5^(k) ≥ 5(3^(k) + 4^(k))

= 5. 3^(k) + 5.4^(k) ≥ 3. 3^(k) + 4.4^(k)

= 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

2.23.

a) Khai triển (1 + x)^(10).

b) (1,1)^(10) và 2.

Giải chi tiết:

a, (1+x)^10

=

=

b, Áp dụng câu a ta có:

2.24. Tìm hệ số của x^(9) trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)^(11).

Giải chi tiết:

Số hạng chứa x^(9) trong khai triển thành đa thức của

(2x – 3)^(11) là

=

=

Vậy hệ số của x^(9 )trong khai triển thành đa thức của

(2x – 3)^(11) là 253440.

2.25. Khai triển đa thức (1 + 2x)^(12) thành dạng

a0 + a1x + a2x^(2) + ... + a12x(12).

Tìm hệ số ak lớn nhất.

Giải chi tiết:

Số hạng chứa x^(k) trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)^(12) hay (2x + 1)^(12) là

Do đó:

Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào ak ta thấy a8 có giá trị lớn nhất và bằng 126720.

2.26. Chứng minh rằng

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

Giải chi tiết:

Xét

Ta có:

Cho x=1 ta được

Ta có:

Cho x = 1, ta được:

Ta có: P+Q=M=2^2n và P-Q=N=0

Nên P=Q=2^2n:2= 2^2n-1

Áp dụng:

=> 2^2n-1= 2048

=> 2n-1= 11

=> n=6

2.27. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Giải chi tiết:

Ta có:

Nếu n lẻ thì * <=>

Từ đây ta có

Dấu "=" chỉ xảy ra khi k= (n-1)/2

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là

Nếu n chẵn thì (*) <=>

Từ đây ta có:

=>

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá lớn nhất là

Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a+b)^(n) bằng 4096

=> Hệ số lớn nhất của khai triển là

2.28. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^(n) với p>0, q>0, p + q = 1

Giải chi tiết:

Đề sai

Vì q và p phải trái dấu