BÀI 20 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau :

d₁ : x – 3y + 3 = 0 và d₂ : x – 3y – 7 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là = ( 1; -3) ; = ( 1; -3)

Ta thấy 1 .( -3 ) = (-3). 1 => và cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Mà A(0; 1) d₁ nhưng A ∉ d₂ => 2 đường thẳng song song.

Bài 2: Tìm góc giữa 2 đường thẳng : d₁ : x + y = 0 ; d₂ : x + 10 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là = ( 1; ) ; = ( 1; 0)

cos (d₁; d₂ ) = = = => (d₁; d₂ ) = 60⁰

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M(2; -1) đến đường thẳng Δ : 3x – 4y – 12 = 0

Trả lời:

d( M; Δ) = =

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau và tìm giao điểm( nếu có)

2x − 5y + 3 = 0 và 5x + 2y − 3 = 0

Trả lời:

a) Ta có : ≠ => 2 đường thẳng cắt nhau

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : 2x − 5y + 3 = 0 ; 5x + 2y − 3 = 0

=> x = ; y =

Vậy 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm ()

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

a) A( 0; 2) ; d trùng với trục Ox b) A≡ O ; d : 3x + 4y – 225 = 0

Trả lời:

a) d trùng với trục Ox => d : y = 0 => d ( A; d) = = 2

b) d( A; d) = = 45

Bài 3: Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc với nhau : Δ₁ : 2x – 3y + 4 = 0 và

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là = ( 2; -3) ; = ( 4m; -3)

Hai đường thẳng vuông góc ó . = 0 ó 2.4m + (-3).(-3) = 0 ó m = -

Bài 4: Tìm m để góc tạo giữa hai đường thẳng sau bằng 45⁰

d₁ : x + y - 10 = 0 và d₂ : 2x + my + 97 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là = ( 1; 1 ) ; = ( 2; m)

cos (d₁; d₂ ) = = = cos 45⁰ =

=> 4 + m² = 4 + 4m + m² ó m = 0

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (−2;−5) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Trả lời:

+) Đường phân giác góc phần tư thứ nhất Δ : x – y = 0

+) d // Δ => d: x – y + c = 0 ( c ≠ 0)

+) d đi qua M( -2; -5) => (-2) – (-5) + c = 0 => c = -3

Vậy d : x – y – 3 = 0

Bài 2: Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ : 7x + y - 3 = 0 ; d₂ : 7x + y + 12 = 0

Trả lời:

+) Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là = ( 7; 1) ; = ( 7; 1)

=> và cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Mà A(0; 3) d₁ nhưng A ∉ d₂ => 2 đường thẳng song song

+) d (d₁ ; d₂) = d (M ; d₂) = =

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d // và cách đường thẳng Δ: y – 3 = 0 một khoảng cách bằng 5

Trả lời:

d // Δ => d : y + c = 0

M(0; 3) Δ

d( d; Δ) = 5 ó d ( M; d) = 5 => = 5 ó 3 + c = 5 hoặc 3 + c = - 5

<=> c = 2 hoặc c = -8

Vậy có hai phương trình thỏa mãn là y + 2 = 0 hoặc y – 8 = 0

Bài 4 : Cho đường thẳng ∆ : 3x − y +1 = 0 và điểm I(1;2) . Tìm phương trình đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua điểm I

Trả lời:

Lấy điểm M ( 0; 1) nằm trên đường thẳng ∆

Gọi điểm M’ đối xứng với M qua điểm I (1;2) => M' = (2;3)

Đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua I là đường thẳng đi qua điểm M’ và song song với ∆ => có vectơ pháp tuyến = (3;−1)

Vậy phương trình của ∆’ là: 3(x − 2) − (y − 3) = 0 ó 3x − y −3 = 0

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy :

d₁ : 2x + y - 4 = 0 ; d₂ : 5x – 2y + 3 = 0 ; d₃ : mx + 3y - 2 = 0

Trả lời:

Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ 2x + y = 4 ; 5x – 2y = -3

=> x = ; y = => I ( ; )

Để 3 đường thẳng đồng quy ó I thuộc d₃ ó . m + 3. – 2 = 0 ó m = -12

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường ∆ thẳng song song với đường thẳng d: 2x − y + 2023 = 0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN = 3

Trả lời:

Do ∆ qua M (m;0) ∈ Ox và N(0;n) ∈ Oy (với m, n ≠ 0) => Δ: + = 1

hay Δ: nx + my – mn = 0

Δ // d => = ó n = -2m

MN = 3 => = 3 ó = 3 => m = ±3

+) m = 3 => n = -6 => Δ: -6x + 3y +18 = 0

+) m = -3 => n = 6 => Δ: 6x – 3y +18 = 0

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M₁ (x₁; x₂ ) và M₂ (x₂ ; y₂ ). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 song song với d là Ax₁ + By₁ + C = Ax₂ + By₂ + C ≠ 0

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là : = ( x₂ – x₁ ; y₂ – y₁)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Ax + By + C = 0 là : = ( A; B)

Để 2 đường thẳng song song <=> . = 0 ó A.( x₂ – x₁) + B.( y₂ – y₁) = 0

<=> Ax₁ + By₁ = Ax₂ + By₂ <=> Ax₁ + By₁ + C = Ax₂ + By₂ + C

Mà điểm M₁ (x₁; x₂ ) không nằm trên Ax + By + C = 0 => Ax₁ + By₁ + C ≠ 0

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (−1;2) và hai đường thẳng d₁ : x + 2y +1 = 0 ; d₂ : 2x + y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt d₁ tại A, cắt d₂ tại B sao cho MA = 2.MB

Trả lời:

Ta có ∆ ∩ d₁ = A => A∈ d₁ => A(−1− 2a; a)

∆ ∩ d₂ = B => B ∈ d₂ => B(b; −2 − 2b) .

=> = (−2a;a − 2); = ( b + 1; -2b − 4)

Do ∆ đi qua M => A, B, M thẳng hàng ; và MA = 2.MB

=> = 2. hoặc = (-2).

+) TH1 : = 2.

<=> -2a = 2.( b + 1) ; a – 2 = 2.( -2b – 4)

<=> a = ; b = - => A(; ) và B(; )

Khi đó đường thẳng ∆ đi qua M ( -1; 2) và nhận = (; ) = ( 1; 1) là vectơ pháp tuyến => ∆ : x – y + 3 = 0

+) TH2 : = (-2).

<=> -2a = (-2).( b + 1) ; a – 2 = (-2).( -2b – 4)

<=> a = -2 ; b = -3 => A( 3; -2) ; B(-3; 4)

Khi đó đường thẳng ∆ đi qua M ( -1; 2) và nhận = (-6; 6) là vectơ pháp tuyến

=> ∆ : x + y – 1 = 0

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x – y + 3 = 0 hoặc x + y – 1 = 0