BÀI 25 : NHỊ THỨC NEWTON (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển (x + 2)⁴

Trả lời:

(x + 2)⁴ = . x⁴. 2⁰ + . x³. 2¹ + . x². 2² + . x¹. 2³ +. x⁰. 4

= x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16

Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( + .x)⁴

Trả lời:

( + .x)⁴ = . ()⁴. (.x) + . ()³. (.x)² + . ()². (.x)² + . (). (.x)³ +. (x)⁴

= + x + x² + x³ + x⁴

Vậy hệ số lớn nhất là

Bài 3: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x – 1)¹²

Trả lời:

Số hạng tổng quát : . (2x)^{12 - k} . (-1)^k = . 2^12-k.(-1)^k. x^12-k

Số hạng chứa x⁵ ó 12 – k = 5 ó k = 7

Vậy hệ số của x⁵ là : . 2^12-7.(-1)⁷ = -25344

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển (x + )¹³

Trả lời:

Số hạng tổng quát : T_k+1 = . x^{13 - k} . ()^k = . x^13-2k

Số hạng chứa x⁷ ó 13 – 2k = 7 ó k = 3

Vậy hệ số của x⁷ là : = 286

Bài 2: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x² + )¹²

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : . x^{2.(12 – k)} . = .x^{24 – 6k}

Số hạng không chứa x ó 24 – 6k = 0 ó k = 4

Vậy số hạng tự do là = 495

Bài 3: Trong khai triển ( 1 – 2x)²⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₂₀x²⁰. Tính a₀ – a₁ + a₂

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : .(-2) ^k . x^k

a₀ = ; a₁ = (-2). ; a₂ = (-2)².

=> a₀ – a₁ + a₂ = - (-2). + (-2)². = 801

Bài 4: Tìm hệ số của x²⁵y¹⁰ trong khai triển ( x³ + xy)¹⁵

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : .(x³)^{15 -k}.(xy)^k = .x^{45 -2k}.y^k

Với 0 ≤ k ≤ 15 , số hạng chứa x²⁵y¹⁰ó k = 10

Vậy hệ số của x²⁵y¹⁰ là = 3003

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho biết hệ số của x² trong khai triển ( 1 + 2x)ⁿ là 180. Tìm n.

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : T_k+1 = .2^k.x^k

Hệ số của x² là : .2² = 180 ó = 180 ó n(n – 1) = 90 ó n = 10 ( vì n > 0)

Vậy n = 10

Bài 2: Xét biểu thức ( x + 2y)³ + ( 2x – y)³

a) Viết khai triển biểu thức trên bằng nhị thức Newton.

b) Tính tổng hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y

Trả lời:

a) ( x + 2y)³ + ( 2x – y)³

= . x³ + . x² .2y + .x. (2y)² + . (2y)³ + . (2x)³ + . (2x)² . (-y)^k + . (2x).(-y)² + . (-y)³

= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ + 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

= 9x³ – 6x²y + 18xy² + 7y³

b) Số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 9x³ ; 6x²y

Tổng hệ số của chúng là 9 + (-6) = 3

Bài 3: Tính tổng hệ số trong khai triển (1 – 2x)²⁰²⁴

Trả lời:

(1 – 2x)²⁰²⁴ = – 2x. + (-2x)² . + (-2x)³ . +...+ (-2x)²⁰²⁴ .

Tổng các hệ số là :

S = – 2. + (-2)² . + (-2)³ . +...+ (-2)²⁰²⁴ .

Cho x = 1 ta có :

(1 – 2.1)²⁰²⁴ = – 2. + (-2)² . + (-2)³ . +...+ (-2)²⁰²⁴ .

ó (-1)²⁰²⁴ = S ó S = 1

Bài 4 : Tìm hệ số của x⁶ trong biểu thức M = ( 2x – 1)¹¹ + ( x² + 1)⁷

Trả lời:

+) Số hạng tổng quát của (2x – 1)¹¹ là : . (2x)^{11 - k} . (-1)^k

Hệ số của x⁶ ó 11 – k = 6 ó k = 5

Hệ số của x⁶ trong (2x – 1)¹¹ là : . 2^{11 - 5} . (-1)⁵ = - 2⁶ .

+) Số hạng tổng quát của (x² + 1)⁷ là : . x^{14 -2 k} . 1^k

Hệ số của x⁶ ó 14 – 2k = 6 ó k = 4

Hệ số của x⁶ trong (x² + 1)⁷ là : . 1⁴ =

=> hệ số của x⁶ trong biểu thức M là : - 2⁶ . +

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong khai triển nhị thức Newton của K(x) = (x + 3)²⁰²³ thành đa thức , có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương ?

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : . (x)^{2023 - k} . 3^k = .2^{(2023 – k) : 3} .3^k . x^{2023 – k}

Để hệ số nguyên dương ó ( 2023 – k) ⁝ 3

ó2023 – k = 3t ó k = 2023 – 3t

Vì 0 ≤ k ≤ 2023 => 0 ≤ t ≤ 674,3

=> t {0; 1; 2; 3; ...; 674} => có 675 giá trị

Vậy có 675 số hạng có hệ số nguyên dương.

Bài 2: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5. = . Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển nhị thức Newton ( - )¹⁴ , x ≠ 0.

Trả lời:

5. = ó 5n = ó(n – 1)(n – 2) = 30 ó n = 7 ( vì n > 0)

( - )¹⁴ = ( - )¹⁴ = ( - )¹⁴

Gọi a là hệ số của x⁵ ta có . )^7-k. (- )^k = ax⁵ ó (-1)^k..)^7-k. x^14-3k = ax⁵

=> 14 – 3k = 5 ó k = 3 => a = (-1)³..)^7-3 = -

Vậy hệ số của x⁵ là -

Bài 3: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển ( - )⁶

Trả lời:

Số hạng tổng quát là :

T_{k + 1} = . ()^{6 - k} . (-)^k = (-1)^k.. 3^{3 – k : 2} .15^{k : 2} = (-1)^k..3³. 5^{k : 2} (0 ≤ k ≤ 6)

T_{k + 1} là số hữu tỉ ó ( k : 2 ) là số tự nhiên ó k ⁝ 2 ó k {0; 2; 4; 6} ( vì 0 ≤ k ≤ 6 )

k = 0 => T₁ = (-1)⁰..3³. 5^{0 : 2} = 27

k = 2 => T₃ = (-1)²..3³. 5^{2 : 2} = 2025

k = 4 => T₅ = (-1)⁴..3³. 5^{4 : 2} = 10125

k = 6 => T₇ = (-1)⁶..3³. 5^{6 : 2} = 3375

Bài 4 : Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x³ – xy)¹⁵

Trả lời:

Số hạng tổng quát là : T_{k + 1} = . (x³)^{15 - k} . (-xy)^k

n = 15 => khai triển (x³ – xy)¹⁵ có 16 số hạng

=> số hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và 9

T₈ = T₇₊₁ = . (x³)^{15 - 7} . (-xy)⁷ = -6435x³¹y⁷

T₉ = T₈₊₁ = . (x³)^{15 - 8} . (-xy)⁸ = 6435x²⁹y⁸