1. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH, KHỐI

Hoạt động 1: Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình H thành H'. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.

Giải chi tiết:

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu song song với nhau nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm chiếu).

Luyện tập 1: Quan sát Hình 3.4 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

Giải chi tiết:

Hình 3.4c có các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu nên hình 3.4c thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

2. HÌNH CHIẾU ĐỨNG, HÌNH CHIẾU BẰNG VÀ HÌNH CHIẾU CẠNH

Hoạt động 2: Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình H qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không. Nếu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó.

Giải chi tiết:

Hình A là hình chiếu của H qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P1), phương chiếu song song với Oy.

Hình B là hình chiếu của H qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P2), phương chiếu song song với Oz.

Hình C là hình chiếu của H qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P3), phương chiếu song song với Ox.

Luyện tập 2: Xác định hình chiếu vuông góc của hình H (H.3.8a) trong các hình dưới đây.

Giải chi tiết:

Hình 3.8b là hình chiếu đứng của hình H.

Hình 3.8c là hình chiếu cạnh của hình H.

Hình 3.8d không là hình chiếu vuông góc nào của hình H.

Luyện tập 3: Thực hiện Ví dụ 3 khi mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) song song với mặt phẳng (SBD), mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) song song với mặt phẳng (ABCD).

Giải chi tiết:

Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp S.ABCD lần lượt được vẽ dưới đây:

Câu hỏi: Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.9b, điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Giải chi tiết:

Vì với hướng nhìn từ trước, điểm B trùng với điểm O của vật thể, nói cách khác điểm B' (hình chiếu đứng của B) trùng với điểm O' (hình chiếu đứng của O).

Mà điểm O là trung điểm của AC, nên O' là trung điểm của A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Do đó: Điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Vận dụng 1: Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu là phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5), còn với phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng hình chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao.

Giải chi tiết:

Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau vì phương chiếu và mặt phẳng chiếu của hai phương pháp là như nhau nên sẽ nhận được những hình như nhau.

3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC

Hoạt động 3: Trong không gian cho điểm A và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng (P1), (P2) cắt nhau theo giao tuyến Ox. Gọi A1 và A2 lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A (H.3.11a). Quay mặt phẳng (P2) quanh Ox sao cho (P2) trùng với (P1), khi đó hai điểm A1 và A2 cùng thuộc mặt phẳng (P1) (H.3.11b).

a) Nhận xét về vị trí của các điểm A1, A2 đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A1A2 có vuông góc với Ox hay không?

b) Hãy trình bày các xác định điểm A khi biết các điểm A1, A2 trong mặt phẳng (P1).

Giải chi tiết:

a) Điểm A1 và điểm A2 nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A1A2 có vuông góc với Ox.

b) Ta có: A1M bằng với A2A (tứ giác A1MA2A là hình chữ nhật).

Từ A2 kẻ đường thẳng A2A bằng đường thẳng A1M. Ta xác định được điểm A.

Luyện tập 4: Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?

Giải chi tiết:

A1 và A2 là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A1A2 vuông góc với Ox. Do đó Hình 3.13c thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.

Hoạt động 4: Trong Hoạt động 2, gọi (P3) là mặt phẳng hình chiếu cạnh và A3 là hình chiếu cạnh của A. Gọi Oz là giao tuyến của (P1) và (P3), Oy là giao tuyến của (P2) và (P3). Quay mặt phẳng (P2) quanh Ox sao cho (P2) trùng với (P1) và quay mặt phẳng (P3) quanh Oz sao cho (P3) trùng với (P1), khi đó ba điểm A1, A2, A3 cùng thuộc mặt phẳng (P1) (H.3.14).

a) Đường thẳng A1A3 có vuông góc với đường thẳng Oz hay không? Khoảng cách từ A3 đến Oz có bằng khoảng cách từ A2 đến Ox hay không?

b) Trong mặt phẳng (P1), trình bày cách xác định điểm A3 khi biết hai điểm A1, A2.

Giải chi tiết:

a) Đường thẳng A1A3 có vuông góc với đường thẳng Oz. Khoảng cách từ A3 đến Oz bằng khoảng cách từ A2 đến Ox.

b) - A1A2 vuông góc với Ox nên gọi giao điểm của A1A2 với Ox là M.

- Từ A1 kẻ đường thẳng song song với Ox và vuông góc với Oz. Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ từ A1 với Oz là P.

- Khoảng cách từ A3 đến Oz bằng khoảng cách từ A2 đến Ox hay A2M = A3P. Từ P kẻ A3P sao cho A1, P, A3 thẳng hàng và A2M = A3P.

Luyện tập 5: Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng AB trong không gian. Xác định hình chiếu bằng của đoạn thẳng đó.

Giải chi tiết:

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu bằng A2 của A và B2 của B.

Để xác định A2 ta làm như sau: Qua điểm A3 vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại D và trên Oz lấy điểm F sao cho OD = OF. Đường thẳng qua A1 vuông góc với Ox cắt đường thẳng qua F vuông góc với Oz tại A2. Tương tự xác định B2. Nối A2 và B2 ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB.

Vận dụng 2: Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?

Giải chi tiết:

Đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu vì từ hai hình chiếu cho trước ta có thể xác định được hình chiếu các đoạn thẳng thuộc hình chiếu còn lại từ hình chiếu các đoạn thẳng ở hai hình chiếu cho trước.

Hoạt động 5: Cho hình hộp chữ nhật H. Quan sát hình chiếu song song H' của hình H lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.17) và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình H' có phải là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình H hay không?

b) Phương chiếu l có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật H hay không?

Giải chi tiết:

a) Hình H' không là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình H vì hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh là các hình chiếu vuông góc của hình H lên các mặt phẳng chiếu tương ứng.

b) Phương chiếu l không song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật H.

Câu hỏi: Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?

Giải chi tiết:

Vì trong hình chiếu vuông góc (tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu), sẽ có các điểm, các đường thẳng trùng nhau (hay bị khuất) do hướng nhìn vuông góc, trong khi ở hình chiếu trục đo (tia chiếu song song với mặt phẳng chiếu), sẽ có nhiều điểm, đường thẳng không bị che khuất nên thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn.

Luyện tập 6: Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?

Giải chi tiết:

Hình 3.20a và 3.20b chỉ thấy được hai mặt của hình hộp chữ nhật nên không là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật. Trong Hình 3.20c có thể thấy được cả ba mặt của hình hộp chữ nhật nên hình này là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật.

Vận dụng 3: Xoay một hình lập phương để có thể quan sát được cả ba mặt của nó. Khi đó các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó hay không? Hãy giải thích tại sao.

Giải chi tiết:

Các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó. Vì đây là hình chiếu song song của hình lập phương lên một mặt phẳng nào đó theo phương từ mắt ta qua vật thể rồi đến mặt phẳng không song song với bề mặt nào của hình lập phương.

Hoạt động 6: Giả sử hình hộp chữ nhật H trong Hoạt động 1 được gắn thêm các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc dọc theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của H. Gọi O'x', O'y', O'z' lần lượt là hình chiếu của các trục đó lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.21).

a) Hình chiếu của các góc xOyˆ, yOzˆ, zOxˆ là các góc nào trên mặt phẳng hình chiếu?

b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số O′M′/OM và O′N′/ON.

Giải chi tiết:

a) Hình chiếu của các góc xOyˆ, yOzˆ, zOxˆ lần lượt là các góc x′O′y′ˆ, y′O′z′ˆ, z′O′x′ˆ.

b) Ta có: O′M′/O′N′=OM/ON (OO' // MM' // NN')

Suy ra: O′M′/OM=O′N′/ON.

Luyện tập 7: Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.21b. Biết các hệ số biến dạng là p = 1, q = r = 0,5. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.

Giải chi tiết:

Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu trục đo của A, B, C trên O'x', O'y', O'z'.

Ta có: p = O′A′/OA = 1 mà O'A' = 5 nên OA = 5

q = O′B′/OB = 0,5 mà O'B' = 3 nên OB = 6

r = O′C′/OC = 0,5 mà O'C' = 2 nên OC = 4.

Hoạt động 7: Cho hình tứ diện vuông OABC có các cạnh OA, OB, OC bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) đi qua O sao cho các trục Ox, Oy, Oz tạo với (P) các góc bằng nhau (H.3.23a). Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C.

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

b) Giải thích tại sao các khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (P).

c) Gọi I là tâm tam giác đều ABC. Giải thích tại sao A′O′B′ˆ=AIBˆ, từ đó suy ra A′O′B′ˆ=B′O′C′ˆ=A′O′C′ˆ=120∘.

Giải chi tiết:

a) Ta có: OA = OB = OC, AOBˆ=BOCˆ=COAˆ=90∘

Suy ra: △AOB = △BOC = △COA (c.g.c)

Do đó: AB = BC = AC nên △ABC đều.

b) Ta có: OA = OB = OC; AA′Oˆ=BB′Oˆ=CC′Oˆ=90∘; AOA′ˆ=BOB′ˆ=COC′ˆ=α

Suy ra: △AA'O = △BB'O = △CC'O (g.c.g)

Do đó: AA' = BB' = CC'.

Ta có: AA' = BB', AA' // BB' nên ABB'A' là hình bình hành

Suy ra: AB // A'B'.

Tương tự ta chứng minh BC // B'C'; CA // C'A'

Mà A'B', B'C', C'A' thuộc (P)

Suy ra: (ABC) song song với (P).

c) Dễ dàng chứng minh được IA = O'A' (AIO'A' là hình bình hành)

Tương tự IB = O'B', AB = A'B'

Do đó: △IAB = △O'A'B'

Suy ra: A′O′B′ˆ=AIBˆ

Do I là tâm tam giác đều ABC nên dễ dàng chứng minh AIBˆ=BICˆ=CIAˆ=120∘

Cũng dễ dàng chứng minh AIBˆ=BICˆ=CIAˆ=A′O′B′ˆ=B′O′C′ˆ=A′O′C′ˆ

Suy ra: A′O′B′ˆ=B′O′C′ˆ=A′O′C′ˆ=120∘.

Câu hỏi: Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Giải chi tiết:

Hình màu cam là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Luyện tập 8: Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó.

Giải chi tiết:

Chiều dài của hình hộp là: 30 mm

Chiều rộng của hình hộp là: 20 mm

Chiều cao của hình hộp là: 40 mm

Vận dụng 4: Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái "L" trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái "T" (H.3.26b).

Giải chi tiết:

BÀI TẬP

3.1. Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?

a) Hình chiếu đứng của một hình H là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng nào đó.

b) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

c) Hình chiếu cạnh của một đường thẳng luôn là một đường thẳng.

d) Hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt luôn là hai điểm phân biệt.

Giải chi tiết:

Khẳng định đúng là: khẳng định b và c.

3.2. Cho ví dụ về một vật thể có cả ba hình chiếu vuông góc là:

a) hình chữ nhật;

b) hình tròn.

Giải chi tiết:

a) Hình hộp chữ nhật có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình chữ nhật.

b) Hình cầu có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình tròn.

3.3. Trên hình chiếu của mỗi vật thể (H.3.27) còn thiếu một số nét. Bổ sung các nét còn thiếu đó.

Giải chi tiết:

3.4. Bạn Hoàng nói rằng, "hình chiếu đứng của một đoạn thẳng luôn có độ dài lớn hơn độ dài của đoạn thẳng đó". Bạn Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?

Giải chi tiết:

Bạn Hoàng nói sai vì hình chiếu vuông góc luôn bảo toàn độ lớn của đoạn thẳng.

3.5. Khi nào thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm? Khi nào thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

Giải chi tiết:

Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

3.6. Cho đoạn thẳng AB và gọi A1B1 là hình chiếu đứng của AB. Biết đường thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, chứng minh rằng AB = A1B1.

Giải chi tiết:

Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P). Đường thẳng qua A và B lần lượt giao với mặt phẳng (P) tại các điểm A1, B1.

Ta có: AA1 // BB1 (vì AA1, BB1 cùng vuông góc với (P))

Vì AB // (P) nên khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P).

Hay: AA1 = BB1.

Do đó: Tứ giác AA1B1B là hình bình hành. Suy ra: AB = A1B1.

3.7. Trong các hình của Hình 3.28, hình nào là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác?

Giải chi tiết:

Trong Hình 3.28a và 3.28b chỉ thấy được một mặt của hình lăng trụ tam giác nên do đó hai hình này không phải là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác. Trong hình 3.28c có thể thấy được hai mặt của hình lăng trụ tam giác nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác.

3.8. Trong các hình của Hình 3.29, hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương? Giải thích vì sao.

Giải chi tiết:

Hình 3.29a là hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương vì đáy của hình chiếu vuông góc với phương chiếu l thẳng đứng; góc trục đo bằng 120∘; hệ số biến dạng bằng 1.

Hình 3.29b và 3.29c không phải là hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương vì góc trục đo không cùng bằng 120∘; hệ số biến dạng không cùng bằng 1.

3.9. Cho hình tứ diện OABC có OA = 2 cm, OB = 3 cm và OC = 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình tứ diện được cho như trong Hình 3.30. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.

Giải chi tiết:

3.10. Trong Hoạt động 3, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số IAOA, chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì p = q = r = 6√3.

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: OABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC.

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên IM=1/2IA. (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra: OM = 1/2BC hay 2OM = BC

Tam giác vuông cân OBC có: 2OB²=BC²

Do đó: 2OB²=4OM². Suy ra: OM²=12OA². (2)

Tam giác OIM vuông tại I có: OI²+IM²=OM² (3)

Mà OI²=OA²−IA² (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1)(2)(4) vào (3) ta được: OA²−IA²+14IA²=1/2OA².

Suy ra: IA²/OA²=2/3. Hay IA/OA=√6/3.

Mà IA = OA'

Do đó: p = q = r = OA′OA=√6/3.

3.11. Hình chiếu trục đo của một vật thể được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.31. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 cm, tính thể tích của vật thể đó.

Giải chi tiết:

Chia vật thể thành hai hình hộp chữ nhật A và B (hình vẽ dưới)

Hình hộp chữ nhật A có: Chiều dài đáy 50 cm, chiều rộng đáy 30 cm, chiều cao 20 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật A là: 50 x 30 x 20 = 30 000 cm3.

Hình hộp chữ nhật B có: Chiều dài đáy 30 cm, chiều rộng đáy 20 cm, chiều cao 20 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật B là: 30 x 20 x 20 = 12 000 cm3.

Suy ra, thể tích vật thể là: 30 000 + 12 000 = 42 000 cm3.