MỞ ĐẦU

Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

Giải chi tiết:

Phép quay trong toán học cho phép thực hiện điều đó.

1. PHÉP QUAY

Hoạt động 1: Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?

Giải chi tiết:

Nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có thể được quay một phần tư vòng tới vị trí mới.

Luyện tập 1: Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều. Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay Q(A,60∘). Gọi D là ảnh của C qua phép quay Q(A,60∘). Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC?

Giải chi tiết:

Ta có: C là ảnh của B qua phép quay Q(A,60∘).

Có: D là ảnh của C qua phép quay Q(A,60∘) nên tam giác ACD đều (AC = AD, góc CAD bằng 60∘.

Dễ dàng chứng minh ABCD là hình bình hành.

Suy ra: BD cắt AC tại trung điểm mỗi đường.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY

Hoạt động 2: Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?

Giải chi tiết:

Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi.

Luyện tập 2: Trong Hình 1.26, ABCDEF là lục giác đều có tâm O. Tìm ảnh của tam giác ACE qua các phép quay Q(0,π/3), Q(0,2π/3).

Giải chi tiết:

- B là ảnh của A qua phép quay Q(0,π/3)

D là ảnh của C qua phép quay Q(0,π/3)

F là ảnh của E qua phép quay Q(0,π/3)

Suy ra: Tam giác BDF là ảnh của tam giác ACE qua phép quay Q(0,π/3).

- C là ảnh của A qua phép quay Q(0,2π/3)

E là ảnh của C qua phép quay Q(0,2π/3)

A là ảnh của E qua phép quay Q(0,2π/3)

Suy ra: Tam giác CEA là ảnh của tam giác ACE qua phép quay Q(0,2π/3).

Vận dụng 1: Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm O, bán kính R. Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì:

- Điểm O biến thành điểm nào?

- Đường tròn (O; R) biến thành đường tròn nào?

- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?

Giải chi tiết:

Khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì:

- Điểm O biến thành chính nó.

- Đường tròn (O; R) cũng biến thành chính nó.

- Vị trí của mặt bàn dịch chuyển một góc α.

3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Hoạt động 2: Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm A, B, C, M, N, P qua phép quay tâm O, góc quay π.

Giải chi tiết:

M là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay π.

N là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay π.

P là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay π.

A là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay π.

B là ảnh của N qua phép quay tâm O, góc quay π.

C là ảnh của P qua phép quay tâm O, góc quay π.

Luyện tập 3: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm ảnh của đường thẳng AB qua Đ_O.

Giải chi tiết:

Ta có: AC cắt BD tại O nên O là trung điểm của AC và BD.

Ta có: C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O; D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O.

Do đó: CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O.

Vận dụng 2: Quan sát Hình 1.30, những phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

a) Hình vẽ nhận điểm O (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.

b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm O sẽ chia hình vẽ thành hai nửa A và B giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm O, góc quay 180∘ thì nửa A biến thành nửa B, tức là, B là ảnh của A qua một phép đối xứng tâm O.

c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.

Giải chi tiết:

Phát biểu a, b, c đều đúng.

BÀI TẬP

1.11. Trong Hình 1.31, BAM và CAN là các tam giác vuông cân tại A. Hãy chỉ ra một phép quay biến tam giác ABC thành tam giác AMN.

Giải chi tiết:

A là ảnh của chính nó qua phép quay tâm A, góc quay 90∘.

M là ảnh của B qua phép quay tâm A, góc quay 90∘.

N là ảnh của C qua phép quay tâm A, góc quay 90∘.

Do đó: Tam giác AMN là ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm A, góc quay 90∘.

1.12. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là A, B, C, D.

a) Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O góc quay π/2.

b) Mỗi phép quay Q(O,0), Q(O,π/2), Q(O,π), Q(O,3π/2) biến hình vuông ABCD thành hình nào?

Giải chi tiết:

a) Ta có: AC vuông góc với BD (tính chất hai đường chéo hình vuông)

Nên B là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay π/2.

C là ảnh của B qua phép quay tâm O góc quay π/2.

D là ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay π/2.

A là ảnh của D qua phép quay tâm O góc quay π/2.

b) Phép quay Q(O,0) biến hình vuông ABCD thành chính nó.

Phép quay Q(O,π/2) biến hình vuông ABCD thành hình vuông BCDA.

Phép quay Q(O,π) biến hình vuông ABCD thành hình vuông CDAB.

Phép quay Q(O,3π/2) biến hình vuông ABCD thành hình vuông DABC.

1.13. Cho hình bình hành ABCD với tâm O.

a) Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

Giải chi tiết:

a) Đường thẳng CD là ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm O.

b) Tam giác CDA là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

1.14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−2)²+y2=1.

a) Tìm tọa độ tâm đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua Q(O,π/2).

b) Viết phương trình (C').

Giải chi tiết:

Đường tròn (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1.

a) Gọi I' là tâm đường tròn (C').

Ta có I'(0; 2) là ảnh của I qua Q(O,π2).

b) Phương trình đường tròn (C'): x²+(y−2)²=1

1.15. Bằng quan sát Hình 1.32, hãy chỉ ra một cách cắt hình đó thành ba phần giống nhau.

Giải chi tiết: