1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA NÓ

Hoạt động 1 trang 6

Hình thành khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc.

Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp 6 lần. Gọi X là số lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm trong 6 lần gieo liên tiếp đó.

a) Các giá trị có thể của X là gì?

b) Trước khi thực hiện việc gieo xúc xắc đó, ta có khẳng định trước được X sẽ nhận giá trị nào không?

Giải chi tiết:

a) Các giá trị của X có thể nhận được là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b) Trước khi thực hiện, không thể dự đoán trước được X sẽ nhận giá trị nào.

Hoạt động 2 trang 7

Củng cố khái niệm bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Hãy nêu số thích hợp với dấu “?” để hoàn thành bảng phân bố xác suất ngẫu nhiên rời rạc X trong Ví dụ 1.

Giải chi tiết:

Luyện tập 1 trang 9

Một tổ có 10 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh. Gọi X là số học sinh nam trong 3 học sinh được chọn. Kập bảng phân bố xác suất của X.

Giải chi tiết:

Các giá trị của X có thể nhận được thuộc tập {0; 1; 2; 3}.

Số kết quả có thể là

Biến cố (X = 0) là biến cố: “Chọn được 3 học sinh nữ”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 0) là

Do đó P(X = 0)

Biến cố (X = 1) là biến cố: “Chọn được 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”

Số cách chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ:

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 1) là 150

Do đó P(X = 1) =

Biến cố (X = 2) là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”

Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ:

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 2) là 270

Do đó P(X = 2) =

Biến cố (X = 3) là biến cố: “Chọn được 3 học sinh nam”

Số cách chọn 3 học sinh nam:

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 3) là 120

Do đó P(X = 3) =

Vậy bảng phân bố xác xuất của X là:

Vận dụng 1 trang 9

Một trò chơi sử dụng một hộp đựng 20 quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau được ghi số từ 1 đến 20. Người chơi lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp. Gọi X là số lớn nhất ghi trên 3 quả cầu đã lấy ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Người chơi thắng cuộc nếu trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu ghi số lớn hơn 18. Tính xác suất thắng của người chơi.

Giải chi tiết:

a) Tập các giá trị có thể của X là {3; 4;...; 20}

P(X = i), với i

Số kết quả có thể là

Biến cố (X = k) là biến cố: “Trong 3 quả cầu lấy ra có 1 quả cầu đánh số nhỏ hơn k”

Bước 1: Chọn quả cầu mang số k: có 1 cách chọn

Bước 2: Chọn 2 quả cầu trong tập {1; 2;...; k – 1}: Có

Vậy số kết quả thuận lợi là: 1.

Vậy P(X = k) =

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Biến cố: “Người chơi thắng” là biến cố hợp của hai biến cố A = {X = 19} và B = {X = 20}

Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc ta có xác suất thắng của người chơi là:

P(A

2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Hoạt động 3 trang 9

Hình thành khái niệm kì vọng

Giả sử số vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên một đoạn đường AB trong 98 buổi tối thứ Bảy được thống kê như sau: 10 tối không có vụ nào; 20 tuối có 1 vụ; 23 tối có 2 vụ; 25 tối có 3 vụ; 15 tối có 4 vụ; 5 tối có 7 vụ. Hỏi trung bình có bao nhiêu vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên đoạn đường AB trong 98 buổi tối thứ Bảy đó?

Giải chi tiết:

Số vụ vi phạm: 0.10 + 1.20 + 2.23 + 3.25 + 4.15 + 5.7 = 236 vụ

Trung bình có: 236 : 98 vụ vi phạm Luật Giao thông trong 98 tối thứ Bảy đang xét.

Luyện tập 2 trang 10

Giả sử số vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên một đoạn đường vào tối thứ Bảy có thể là 0; 1; 2; 3; 4; 5 vó các xác suất tương ứng là 0,1; 0,2; 0,25; 0,25; 0,15 và 0,05. Hỏi trung bình có bao nhiêu vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên đoạn đường đó vào tối thứ Bảy?

Giải chi tiết:
Gọi X là số vụ vi phạm Luật Giao thông trên đoạn đường AB vào tối thứ Bảy. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Ta có:

EX = 0,01 + 1.0,2 + 2.0,25 + 3.0,25 + 4.0,15 + 5.0,05 = 2,3

Vậy trên đoạn đường AB vào tối thứ Bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm Luật Giao thông.

Vận dụng 2 trang 11

Tiếp tục xét tình huống mở đầu, giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II.

a) Hỏi trung bình Minh nhận được bao nhiêu điểm?

b) Ở vòng 1 Minh nên chọn loại câu hỏi nào?

Giải chi tiết:
a) Giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II. Gọi Y là số điểm Minh nhận được. Ta lập bảng phân bố xác suất của Y.

Gọi A là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I”; B là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”.

P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây

Vậy P(Y = 0) = P() = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4.

Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi và số điểm với số điểm nhận được là 80 + 0 = 80 điểm. Theo giả thiết A và B là biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có

P(Y = 80) = P(B) = P(B)P() = (0,6)(1 – 0,8) = 0,12

Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được 20 + 80 = 100 điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có

P(Y = 100) = P(BA) = P(B)P(A)= 0,6. 0,8 = 0,48

Bảng phân bố xác suất của Y là

Từ đó

E(Y) = 0.0,4 + 80.0,12 + 100.0,48 = 57,6

Về trung bìh Minh được 57,6 điểm

b) Theo Ví dụ 6 ta có E(X) = 54,4. Vì E(Y) > E(X) nên nếu ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II thì về trung bình, Minh được nhiều điểm hơn. Vậy ở vòng 1, Minh nên chọn câu hỏi loại II.

Hoạt động 4 trang 11

Hình thành khái niệm phương sai

Một nhà đầu tư xem xét hai phương án đầu tư. Với phương án 1 thì doanh thu một năm sẽ là 8 tỉ đồng hoặc 2 tỉ đồng với xác suất tương ứng là và Với phương án 2 thì doanh thu một năm sẽ là 5 tỉ đồng hoặc 3 tỉ đồng với hai xác suất bằng nhau.

a) Hãy so sánh doanh thu trung bình của phương án 1 và phương án 2.

b) Nhà đầu tư nên chọn phương án nào?

Giải chi tiết:

a) Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và phương án 2

E(X) =

Doanh thu trung bình của hai phương án là như nhau.

b) Nhà đầu tư ưa mạo hiểm sẽ chọn phương án 1. Nhà đầu tư muốn sự an toàn sẽ chọn phương án 2.

Câu hỏi trang 11

Trở lại HĐ4. Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và phương án 2. Tính độ lệch chuẩn của X và Y.

Giải chi tiết:

E(X) =

V(X) =

E(Y) =

V(Y) =

Luyện tập 3 trang 12

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tính V(X) và

b) Tính V(X) theo công thức (2).

Giải chi tiết:

E(X) = 0.0,16 + 1.0,18 + 2.0,25 + 3.0,28 + 4.0,13 = 2,04.

a) Từ định nghĩa ta có

V(X) =

b) Theo công thức (2) trong SGK ta có

V(X) =

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ

Bài 1.1

Giả sử số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ Bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu ở bệnh viện đó vào tối thứ Bảy

b) Biết rằng nếu có hơn 3 ca cấp cứu thì bệnh viện phải tăng cường thêm bác sĩ trực. Tính xác suất phải tăng cường bác sĩ trực vào tối thứ Bảy ở bệnh viện đó.

c) Tính E(X), V(X) và

Giải chi tiết:
a) Gọi E là biến cố: “Ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”

Biến cố đối là biến cố “Không có một ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”

Vậy Thành thử P(X) = 1 – P(

b) Gọi F là biến cố: “Có ít nhất 3 ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”

P(B) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,19 + 0,08 + 0,02 + 0,29.

c) E(X) = 1,89; V(X) = 1,4379;

Bài 1.2

Số cuộc điện thoại gọi đến một trung tâm cứu hộ trong khoảng thời gian từ 12 giờ đến 13 giờ là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tính xác suất để xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.

b) Tính xác suất để xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó.

c) Tính E(X), V(X) và

Giải chi tiết:

a) Gọi E là biến cố: “Xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi”. Biến cố đối “Xảy ra nhiều nhất một cuộc gọi” là hợp của hai biến cố xung khắc là biến cố {X = 0} và biến cố {X = 1}

Theo quy tắc cộng xác suất: P(

Vậy P(E) = 1 - P(

b) Gọi F là biến cố: “Xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi”. F là hợp của hai biến cố xung khắc: biến cố G: “Không xảy ra hoặc xảy ra 1 cuộc gọi” và biến cố H: “Xảy ra 2 hoặc 3 cuộc gọi”

Theo quy tắc cộng xác suất P(F) = P(G) + P(H)

Biến cố G là hợp của hai biến cố xung khắc là biến cố {X = 0} và biến cố {X = 1}

Theo quy tắc cộng xác suất P(H) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,15 + 0,15 = 0,3

Vậy P(F) = P(G) + P(H) = 0,45 + 0,3 = 0,75

c) E(X) = 0.0,25 + 1.0,2 + 2.0,15 + 3.0,15 + 4.0,13 + 5.0,12 = 2,07

V(X) = 0.0,25 + 1.0,2 + 4.0,15 + 9.0,15 +16.0,13 + 25.0,12 - = 2,9451

Bài 1.3

Một túi gồm các tấm thẻ giống hệt nhau chỉ khác màu, trong đó có 10 tấm thẻ màu đỏ và 6 tấm thẻ màu xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời ra 3 tấm thẻ từ trong túi.

a) Gọi X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra. Lập bảng phân bố xác suất của X. Tính E(X).

b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ màu đỏ được 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ màu xanh được 8 điểm. Gọi Y là số điểm thu được sau khi rút 3 tấm thẻ từ trong túi. Lập bảng phân bố xác suất của Y.

Giải chi tiết:

Gọi X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra.

a) P(X = 0) =

P(X = 2) =

Vậy bảng phân bố xác suất của X là:

E(X) =

V(X) =

Bài 1.4

Hai xạ thủ An và Bình tập bắn một cách độc lập với nhau. Mỗi người thực hiện hai phát bắn một cách độc lập. Xác suất bắn trúng bia của An và của Bình trong mỗi phát bắn tương ứng là 0,4 và 0,5.

Gọi X là số phát bắn trúng bia của An, Y là số phát bắn trúng bia của Bình.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X, Y.

b) Tính E(X), E(Y), V(X), V(Y).

Giải chi tiết:

a) Ta có

P(X = 0) = 0,6. 0,6 = 0,36; P(X = 1) = 0,4.0,6 + 0,6.0,4 = 0,48;

P(X = 2) = 0,4.0,4 = 0,16

P(Y = 0) = 0,5.0,5 = 0,25; P(Y = 1) = 0,5.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5;

P(Y = 2) = 0,5.0,5 = 0,25

Bảng phân bố xác suất của X là:

Bảng phân bố xác suất của Y là:

b) E(X) = 1.0,48 + 2.0,16 = 0,8;

V(X) = 1.0,48 + 4.0,16 – 0,64= 0,48;

E(Y) = 1.0,5 + 2.0,25 = 1;

V(Y) = 1.0,5 + 4.0,25 – 10,5 = -9.

Bài 1.5

Trong một chiếc hộp có 10 quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau, trong đó có 4 quả ghi số 1; 3 quả ghi số 2; 2 quả ghi số 3 và 1 quả ghi số 4. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi cộng hai số trên hai quả cầu với nhau. Gọi X là kết quả thu được. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Giải chi tiết:

Ký hiệu A_ij là biến cố: Chọn được quả cầu ghi số i và quả cầu ghi số j”

P(X = 2) = P(A₁₁) =

P(X = 3) = P(A₁₂) =

P(X = 4) = P(A₁₃) + P(A₂₂) =

P(X = 5) = P(A₁₄) + P(A₂₃) =

P(X = 6) = P(A₃₃) + P(A₂₄) =

P(X = 7) = P(A₃₄) = .

Vậy bảng phân bố xác suất của X là”