1. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG THỰC TIỄN

Hoạt động 1 trang 35 chuyên đề toán 12

Một người đánh cá ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0PQ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.

a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.

b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rối đi bộ về thì hết bao nhiêu thời gian?

Giải chi tiết:

a) S_AP = 2 km, S_BQ = 6 km, v_thuyền = 3 km /h, v_bộ = 5 km/h, 0 S_BQ 6 km.

b) .

.

.

.

c) - Thời gian chèo thuyền từ A P là: (giờ).

- Thời gian đi bộ từ P về nhà là: (giờ).

- Tổng thời gian là: (giờ).

- Thời gian để chèo đến Q là:

(0 S_BQ 6).

Thời gian để đi bộ từ Q đến nhà là: (giờ)

Tổng thời gian là: (giờ).

Luyện tập 1 trang 37 chuyên đề toán 12

Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu V_o = 9 m/s (Hình 2.10). Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình , ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là g = 9,8 m/s²).

b) Xác định góc ném để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

a) Ta có

Cho .

Lại có y(0) = 0

Vậy

b)

.

Vậy khi thì tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất

Luyện tập 2 trang 38 chuyên đề toán 12

Gọi v_kk là vận tốc ánh sáng trong không khí và v_n là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (Hình 2.13). Vận dụng đạo hàm tìm vị trí cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình

Phương trình này được gọi là Định luật Snell.

Giải chi tiết:

- Thời gian ánh sáng đi từ A P là:

- Thời gian ánh sáng đi từ P B là:

- Tổng thời gian là:

Với 0 < x < c ta được:

Hay

Ta thấy rằng nhỏ nhất tại thỏa mãn

hay hay (điều phải chứng minh)

2. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ

Luyện tập 3 trang 40 chuyên đề toán 12

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận là cao nhất?

Giải chi tiết:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi tấm thiệp

Số lượng xe bán ra là 600 + 200x.

Hàm chi phí cho (600 + 200x) xe là: 27. (600 + 200x) (triệu đồng).

Hàm doanh thu cho (600 + 200x) chiếc xe là (600 + 200x).(31 – x) (triệu đồng).

Khi đó lợi nhuận thu được là:

P(x) = (600 + 200x).(31 – x) – 27. (600 + 200x) = 2400 + 200x – 200x².

Để tối đa hóa lợi nhuận, ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 x 31.

Ta có P’(x) = 200 – 400x = 0 khi x = .

P = 2450 (triệu đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = tức là mỗi xe nên giảm 0,5 triệu đồng. Vậy giá bán mới nên là 30,5 triệu đồng.

Luyện tập 4 trang 42 chuyên đề toán 12

Biết rằng C(x) = 16 000 + 500x – 1,64 x² + 0,004 x³ là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu của x đơn vị hàng hóa. Hãy tìm mức sản xuất để lợi nhuận là lớn nhất.

Giải chi tiết:

Hàm doanh thu là: R(x) = x.P(x) = x.(1700 – 7x) = 1700x – 7x²

Hàm lợi nhuận là:

P(x) = R(x) – C(x) = 1700x – 7x² – (16000 + 500x – 1,64 x² + 0,004 x³)

= – 0,004 x³ + 0,64 x² + 1200 x – 16000.

P’(x) = – 0,012 x² + 1,28 x + 1200 = 0

Khi đó P(x) đạt giá trị lớn nhất tại

Ta có P(374) > P(375)

Do số đơn vị hàng hóa x phải là số nguyên dương nên lợi nhuận lớn nhất khi mức sản xuất là x = 374 đơn vị hàng hóa.

3. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ

Giải chi tiết bài 2.6 trang 42 chuyên đề toán 12

Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải chi tiết:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m, x > 0)

Bán kính hình tròn là: (m)

Nửa chu vi hình tròn là: (m)

Chiều dài hình chữ nhật là: (m)

Diện tích hình chữ nhật là: (m²)

Diện tích nửa hình tròn là: (m²)

Diện tích cửa sổ là:

S(0) = 0, S(10) = –67,81, S(x₀) = 14,9 diện tích cửa sổ lớn nhất khi

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất khi chiều rộng là ; chiều dài là m.

Giải chi tiết bài 2.7 trang 42 chuyên đề toán 12

Người ta muốn kéo một đường dây điện tử nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (Hình 2.18). Tìm vị trí điểm S sao cho chi phí kéo đường dây là nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

Do tam giác SBC vuông tại B nên

Chi phí lắp đặt dưới đất là 3000x (USD).

Chi phí lắp đặt trên biển là (USD).

Tổng chi phí lắp đặt là:

nên đây là hàm đồng biến với x.

Ta có S(0) = 5000, S(4) = 32615,53.

Vậy khi x = 0 thì S(x) đạt giá trị nhỏ nhất nên điểm S đặt trùng điểm B thì chi phí rẻ nhất.

Giải chi tiết bài 2.8 trang 43 chuyên đề toán 12

Một xe khách tuyến có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu chuyến xe chở x hành khách thì giá mỗi hành khách là 50 000 (đồng). Xe có doanh thu cao nhất khi chở bao nhiêu hành khách, và doanh thu đó bằng bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Số tiền khi chở x khách hàng là:

Ta có F(40) = 8000000 (đồng)

Vậy xe có doanh thu cao nhất khi chở 40 khách hàng và doanh thu lúc đó là 8000000 đồng.

Giải chi tiết bài 2.9 trang 43 chuyên đề toán 12

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích 5 l. Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m2, giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m2. Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn? (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)

Giải chi tiết:

Giả sử thùng có bán kính r và chiều cao h.

Ta có

Chi phí mỗi thùng là:

Khi đó T 17201,05

Chi phí mỗi thùng khi đó là nhỏ nhất tại . Vậy số thùng tối đa là = 58135 thùng.

Giải chi tiết bài 2.10 trang 43 chuyên đề toán 12

Giả sử C(x) = 18 000 + 500x – 1,6 x² + 0,004 x³ (nghìn đồng) là hàm chi phí và p(x) = 1 500 – 3x (nghìn đồng) là hàm cầu của x đơn vị một loại hàng hóa nào đó. a) Tìm công thức của hàm lợi nhuận P(x), biết rằng hàm lợi nhuận bằng hiệu của hàm doanh thu và hàm chi phí.

b) Tìm mức sản xuất x để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Giải chi tiết:

a) Hàm doanh thu là: R(x) = x.P(x) = x.(1500 – 3x) = 1500x – 3x²

Hàm lợi nhuận là:

P(x) = R(x) – C(x) = 1500x – 3x² – (18000 + 500x – 1,6 x² + 0,004 x³)

= – 0,004 x³ – 1,4 x² + 1000 x – 18000.

b) P’(x) = – 0,012 x² – 2,8 x + 1000 = 0

khi đó thì hàm lợi nhuận có giá trị lớn nhất.

Ta có P(194) < P(195)

Do số đơn vị hàng hóa là số nguyên dương nên lợi nhuận lớn nhất khi mức sản xuất là x = 195 hàng hóa.