CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BUỔI HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Bài toán:

Trong không gian (mỗi trục có đơn vị km), người ta dựng một trạm phát sóng điện thoại di động ở vị trí , biết rằng bán kính phủ sóng là 3 km.

a) Viết phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.

b) Nếu một người dùng điện thoại ở vị trí thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?

Giải:

a) Phương trình của mặt cầu là:

b) Ta có .

Suy ra .

Do đó một người sử dụng điện thoại ở vị trí thì vẫn dùng được dịch vụ của trạm phát sóng trên.

CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 17. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính có phương trình

Chú ý:

- Điểm nằm trong mặt cầu nếu

- Điểm nằm ngoài mặt cầu nếu

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có đường kính với

Giải:

có tâm là trung điểm của đoạn thẳng và có bán kính nên có phương trình:

Nhận xét

Với các hằng số thì có thể viết lại thành và là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi . Khi đó, có tâm và bán kính .

Ví dụ 2: Trong không gian , phương trình . Hãy xác định xem phương trình trên có phải phương trình mặt cầu không? Hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Giải:

Vì nên phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu .

có tâm , bán kính .

Hoạt động luyện tập

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian

Phương pháp giải:

Loại 1: Cho là: . Khi đó:

• Tâm
• Bán kính

Loại 2: Cho là: . Khi đó:

• Điều kiện để phương trình trên là mặt cầu là
• Tâm
• Bán kính

Bài 1. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu trong các trường hợp sau:

a)

c)

Giải:

a) có tâm , bán kính .

c) có tâm , bán kính .

Bài 2. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu? Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu tương ứng.

a)

b)

c)

Giải:

Vì nên phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu.

Mặt cầu đó có tâm , bán kính .

Vì nên phương trình đã cho không là phương trình của một mặt cầu.

Vì nên phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu.

Mặt cầu đó có tâm , bán kính .

Bài 3. Cho phương trình

.

a) Tìm điều kiện của để (1) là phương trình của một mặt cầu.

b) Tìm diện tích lớn nhất của mặt cầu có phương trình trên.

Giải:

a) Ta có:

Để (1) là phương trình một mặt cầu khi và chỉ khi

.

b) Với điều kiện trên thì (1) là phương trình mặt cầu có bán kính

Bán kính lớn nhất của mặt cầu là nên diện tích lớn nhất của mặt cầu là .

Bài 4. Tìm để phương trình sau đây là phương trình của một mặt cầu:

a)

b)

Giải:

a)

Ta có:

(1) là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

Vậy với mọi số thực thì (1) là phương trình của một mặt cầu.

b) (2)

Ta có:

(2) là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

Bài 5. Trong không gian , tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Giải:

Xét phương trình (*)

Ta có:

(*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi

Khi đó bán kính mặt cầu là

Bán kính mặt cầu nhỏ nhất là , khi đó .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Mặt cầu có tâm và đi qua điểm thì bán kính

Bài toán 2: Mặt cầu có đường kính thì

Bài toán 3: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với

Bài toán 4: Mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng (hay gọi là ngoại tiếp tứ diện ). Gọi có dạng

• Thay tọa độ 4 điểm vào phương trình để tìm 4 ẩn số .
• Suy ra tâm , bán kính .

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) có tâm và có bán kính bằng 5;

b) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm ;

c) có đường kính với .

Giải:

a) có tâm , bán kính nên có phương trình là:

b) có tâm và bán kính nên có phương trình là:

c) có tâm là trung điểm của đoạn thẳng và có bán kính nên có phương trình là:

Bài 2. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) có tâm và tiếp xúc với trục .

b) có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .

Giải:

a) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

Mặt cầu có tâm , bán kính nên có phương trình :

b) Mặt cầu có tâm , bán kính

nên có phương trình là:

--------------- Còn tiếp ---------------