CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

BÀI 12: TÍCH PHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Khái niệm tích phân

2. Tính chất của tích phân

KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

a) Diện tích hình thang cong

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng , trong đó ) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b], gọi là một hình thang cong.

Ví dụ 1. Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không?

Giải

Hình 4.3a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng ,

Hình 4.3b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng ,

• HĐ1. Diện tích của hình thang

Kí hiệu và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Khi đó . Ta có: . Khi đó diện tích hình thang T là

.

Giải

b) Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Khi đó . Do đó . Khi đó diện tích hình thang là .

Giải

c) +)

Do đó là một nguyên hàm của

hàm số . +) Có Do đó .

Giải

• HĐ2. Diện tích của hình thang cong

a) Với mỗi , gọi là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ bằng và (H.4.5).

Cho sao cho . So sánh hiệu với diện tích hai hình chữ nhật và (H.4.6). Từ đó suy ra

b) Cho sao cho . Tương tự phần a, đánh giá hiệu và từ đó suy ra

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi , ta có

Từ đó chứng minh

Người ta chứng minh được , tức là là một nguyên hàm của trên .

d) Từ kết quả của phần c, ta có . Sử dụng điều này với lưu ý và diện tích cần tính , hãy tính .

Gọi là một nguyên hàm tùy ý của trên . Hãy so sánh và .

Giải

a) Với , kí hiệu và lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có:

+) Hình chữ nhật MNPQ có kích thước:

Hình chữ nhật MNEF có kích thước:

Giải

+)

Từ hình vẽ:

hay . Suy ra .

Giải

Với và , kí hiệu và lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có

hay . Suy ra .

Giải

c) Dựa vào kết quả của câu ta suy ra với mọi , ta có:

Suy ra .

Giải

d) Vì S(1) nên

Vậy Ta có

+) +C là một nguyên hàm của trên . Khi đó .

Ta thấy .

Kết luận

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng là , trong đó là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn

Ví dụ 2. Tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải

Một nguyên hàm của hàm số là

Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là

b) Định nghĩa tích phân

• HĐ3. Nhận biết khái niệm tích phân

Giải

Vì và là hai nguyên hàm của trên đoạn nên tồn tại một hằng số C sao cho

Do đó

Khái niệm

Cho là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu là một nguyên hàm cúa hàm số trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu là .

CHÚ Ý

Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:

a) Hiệu thường được kí hiệu là .

Như vậy

CHÚ Ý

b) Ta gọi là dá́u tích phân, a là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

c) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước:

Ví dụ 3. Tính:

Luyện tập 1

Tính:

Giải

a) b) c) . d)

Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn , thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng ,

Vậy

Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) b)

Giải

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông , có đáy nhỏ , đáy lớn và đường cao (H.4.10). Do đó:

Giải

b) Ta có là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng (H.4.11).

Vậy

Luyện tập 2

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) b)

Giải

a) Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Do đó

Luyện tập 2

Giải

Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông với đáy nhỏ ; đáy lớn và chiều cao . Do đó

.

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) b)

Giải

Ta có là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2.

Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy .

Vận dụng 1

Giải quyết bài toàn ở tình huống mở đầu

Giải

Ô tô dừng lại khi . Tức là giây.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là:

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là 5 mét.

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

• HĐ4. Nhận biết tính chất của tích phân

Giải

a) .

Do đó

Giải

b)

Do đó c) .

Do đó .

Tính chất của tích phân

Cho là các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có

1) (k là hằng só́);

2) ;

3) ; 4) .

Ví dụ 5. Tính:

a) b) c)

Giải

a)

Ví dụ 5. Tính:

a) b) c)

Giải

b)

Ví dụ 5. Tính:

a) b) c)

Giải

c)

Luyện tập 3

Tính các tích phân sau:

a) b) c)

Giải

Luyện tập 3

Tính các tích phân sau:

a) b) c)

Giải

c)

Ví dụ 6. Tính

Giải

Ta có:

Luyện tập 4

Tính

Giải

Vận dụng 2

Giá trị trung bình của hàm số liên tục trên đoạn được định nghĩa là

Giả sử nhiệt độ (tính bằng ) tại thời điểm giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------