THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí sản xuất để sản xuất đơn vị sản phẩm là (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là . Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số trong Hình 1.27 như thế nào?

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

• HĐ1: Cho hàm số . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính và tìm các điểm tại đó .

b) Xét dấu để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Giải:

a) Ta có:

.

b)

• Trên khoảng nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng nên hàm số nghịch biến.

• Hàm số đạt cực tiểu tại với .

c) Giới hạn tại vô cực:

.

Bảng biến thiên:

d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm , cắt trục hoành tại điểm và , nhận đường thẳng làm trục đối xứng.

Ghi nhớ

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

• Tính đạo hàm . Tìm các điểm tại đó hoặc đạo hàm không tồn tại.
• Xét dấu để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
• Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý:

Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp).

Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).

2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải:

1. Tập xác định của hàm số:

2. Sự biến thiên

• Ta có: . Vậy khi hoặc
• Trên khoảng nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại .

• Giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
• Ta có

hoặc

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

Chú ý:

Đồ thị của hàm số bậc ba

• Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ

• Không có tiệm cận.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải:

1. Tập xác định của hàm số:

2. Sự biến thiên

• Ta có: . Vậy với mọi
• Hàm số đồng biến trên các khoảng Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
• Ta có

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm

Luyện tập 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải:

1. Tập xác định của hàm số: .

2. Sự biến thiên:

• Ta có: . Vậy với mọi .
• Hàm số nghịch biến trên khoảng . Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực: .
• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ và có tâm đối xứng là điểm

3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

--------------- Còn tiếp ---------------