Bài tập củng cố Toán 10 kết nối: bài 18 Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập củng cố môn Toán 10 kết nối tri thức: Bài 18 Phương trình quy về phương trình bậc hai. Phần bài tập gồm 4 mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng và Vận dụng cao bám sát với chương trình sách giáo khoa. Thông qua bài tập này, học sinh có thể ôn luyện kiến thức đã học từ cơ bản đến nâng cao.

Nội dung chi tiết

BÀI 18 : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương 2 vế của phương trình ta được :

x² – 6x – 4 = x – 4

<=> x² – 7x = 0

<=> x( x – 7) = 0

<=> x = 0 hoặc x = 7

Thử lại ta thấy x = 0 ( không thỏa mãn) ; x = 7 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 7

Bài 2: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương hai vế của phương trình ta được :

2x² + 3x + 1 = x² + 4x + 3

<=> x² – x – 2 = 0

<=> ( x – 2)( x + 1) = 0

<=> x = 2 hoặc x = -1

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = -1

Bài 3: Giải phương trình = 2x - 1

Trả lời:

+) 2x – 1 ≥ 0 ó x ≥ (1)

+) Bình phương hai vế của phương trình ta được

x² – 6x + 6 = 4x² – 4x + 1

<=> 3x² + 2x – 5 = 0

<=> ( 3x + 5)(x -1) = 0

<=> x = hoặc x = 1 ( 2)

Từ ( 1) và (2) => x = 1

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình = 3

Trả lời:

Đặt t = ( t ≥ 0) => t² = x² – 3x + 3 => x² – 3x + 6 = t² + 3

Ta có : t + = 3

<=> = 3 – t

<=> t² – 3 = 9 – 6t + t² và 3 – t ≥ 0

<=> t =1 và t ≤ 3 <=> t = 1

Với t = 1 => = 1

<=> x² – 3x + 3 = 1 ó x²– 3x + 2 = 0 <=> x = 1 ; x = 2

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2}

Bài 2: Giải phương trình : ( x – 2) = x² - 4

Trả lời:

( x – 2) = x² - 4

<=> ( x – 2) = ( x – 2)( x + 2)

<=> ( x – 2) [ – ( x + 2 )] = 0

<=> x – 2 = 0 hoặc – ( x + 2 ) = 0

+) x – 2 = 0 ó x = 2

+) – ( x + 2 ) = 0

<=> = x + 2

<=> 2x² + 4 = x² + 4x + 4 và x ≥ -2

<=> x² – 4x = 0 và x ≥ -2

<=> x = 0 hoặc x = 4 và x ≥ -2

<=> x = 0 hoặc x = 4

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 0; 4}

Bài 3: Giải phương trình : x² + = 31

Trả lời:

Đặt t = ( t ≥ 0)

=> t² – 11 + t = 31

<=> t² + t – 42 = 0

<=> ( t + 7)(t – 6) = 0

<=> t = -7 (loại) ; t = 6 ( thỏa mãn)

Với t = 6 => = 6 <=> x² + 11 = 36 <=> x² = 25 <=> x = ± 5

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy x = ± 5 là nghiệm của phương trình.

Bài 4: Với m > 0 , tìm nghiệm của phương trình = x – m

Trả lời:

= x – m ó x ≥ m ; x² – m² = ( x – m)²

<=> x ≥ m ; 2xm = 2m²

<=> x ≥ m ; x = m ó x = m

Vậy phương trình luôn có 1 nghiệm x = m ( m > 0)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình = 3

Trả lời:

Điều kiện x³ + x² – 1 ≥ 0

Đặt u = ; v = ta được hệ phương trình :

u + v = 3; v² – u² = 3

<=> u + v = 3 ; ( v – u )( v + u) = 3

<=> u + v = 3 ; v – u = 1

<=> v = 2 ; u = 1

<=> = 2; = 1

<=> x³+ x² + 2 = 4 ; x³+ x² - 1 = 1

<=> x³+ x² - 2 = 0

<=> ( x – 1)(x² + 2x + 2 ) = 0

<=> x = 1 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Bài 2: Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = x - 3

Trả lời:

Giao điểm giữa đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = x – 3 là nghiệm của phương trình = x – 3

<=> 3x – 4 = ( x – 3)² ; x – 3 ≥ 0

<=> x² – 9x + 13 = 0 ; x ≥ 3

<=> x = hoặc x = ; x ≥ 3

<=> x = ( thỏa mãn)

Vậy đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = x – 3 có 1 giao điểm chung.

Bài 3: Tính tích các nghiệm của phương trình = x² + x - 1

Trả lời:

= x² + x - 1

<=> x² + x + 1 - – 2 = 0

<=> ()² - – 2 = 0

<=> = -1 ( loại) hoặc = 2

<=> x² + x – 3 = 0

Theo định lý Vi -ét ta có x₁.x₂ = -3

Vậy tích hai nghiệm của phương trình bằng – 3

Bài 4 : Tìm nghiệm của phương trình + = 1

Trả lời:

Điều kiện 4 – x ≥ 0 và x – 5 > 0 ó x ≤ 4 và x > 5 ( vô nghiệm)

Hệ điều kiện vô nghiệm => phương trình vô nghiệm.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Bạn Lan giải phương trình + 1 = 3x theo các bước sau :

Bước 1 : Bình phương 2 vế của phương trình ta được : x² + 3x = ( 3x – 1)²

Bước 2 : Khai triển và rút gọn ta được: 8x² – 9x + 1 = 0 <=> x = hoặc x = 1

Bước 3 : Khi x = ta có x² + 3x > 0 . Khi x = 1 ta có x² + 3x > 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {}

Em hãy xem bạn Lan làm đúng chưa ? Nếu chưa , em hãy sửa lại cho đúng.

Trả lời:

Bạn Lan làm chưa đúng ở bước 3.

x² + 3x > 0 là điều kiện xác định của phương trình , không phải điều kiện có nghiệm

Thử lại ta thấy x = ( không thỏa mãn) ; x = 1 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 2: Tỉnh tổng các nghiệm của phương trình - 3. = 10

Trả lời:

Đặt t = ; t ≥

Ta có phương trình : t² – 3t – 10 = 0

<=> t = 5 ( thỏa mãn điều kiện) hoặc t = -2 ( không thỏa mãn)

Với t = 5 => = 5 <=> x² + 481 = 625 <=> x = ± 12

Thử lại thấy thỏa mãn => tổng các nghiệm của phương trình bằng 0

Bài 3: Xét nửa đường tròn đường kính MN = 10. Xét điểm B ( không trùng hai điểm M, N) di động trên nửa đường tròn và hình chiếu của B trên đoạn MN là điểm A, vẽ hình chữ nhật ABCD với C cũng thuộc nữa đường tròn. Tìm độ dài AI biết chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 22.

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Trả lời:

Đặt AI = x ( 0 < x < 5) => AD = 2x

Tam giác ABC vuông tại A => AB =

Chu vi hình chữ nhật ABCD là : 2.( AB + AD) = 22

<=> 2. + 4x = 22

<=> = 11 – 2x

<=> 25 – x² = 121 – 44x + 4x² ; 11 – 2x ≥ 0

<=> 5x² – 44x + 96 = 0 ; x ≥

<=> x = hoặc x = 4 ; x ≥

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và I là hoặc 4

Bài 4 : Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD /km và đường ống dưới nước là 130 000 USD/ km. Điểm B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Tính khoảng cách giữa vị trí A và C.

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)