BÀI 19 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Cho đường thẳng d cho phương trình tham số như sau. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

d :

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d là : = ( 5; -2)

Bài 2: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là : 8x + 6y – 5 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của Δ là : = ( 8; 6)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M( 2 ; 5) và N(-9 ;4). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng MN

Trả lời:

Đường trung trực của đoạn thẳng MN vuông góc với MN

=> vectơ pháp tuyến là = ( -11 ; -1)

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng d thỏa mãn điều kiện sau :

a) Đường thẳng d đi qua điểm J ( -2; - 3) và có vectơ pháp tuyến = ( 2; 5)

b) Đường thẳng d đi qua điểm K ( 3; - 5) và có vectơ chỉ phương = ( 2; -4)

Trả lời:

a) Phương trình đường thẳng d là : 2.( x + 2) + 5. ( y + 3) = 0 ó 2x + 5y + 19 = 0

b) Phương trình đường thẳng d là : = ó 4x + 2y – 2 = 0 ó 2x + y – 1 = 0

Bài 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm A(3;4) và B(4;2)

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d là : = ( 1; -2)

Phương trình tham số :

d :

Bài 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d : 2x + 3y – 6 = 0

Trả lời:

d : 2x + 3y – 6 = 0 có vectơ pháp tuyến = ( 2; 3) => vectơ chỉ phương = (-3; 2)

x = 0 => y = 2 => d đi qua điểm A( 0; 2)

Phương trình tham số :

d :

Bài 4: Chứng minh rằng đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) với a ≠ 0 và b ≠ 0 có phương trình theo đoạn chắn là + = 1

Trả lời:

= ( -a; b) => = ( b; a) vuông góc với AB là vectơ pháp tuyến

Đường thẳng cần tìm có phương trình b( x − a) + a( y − 0) = 0 <=> bx + ay = ab

<=> + = 1 ( chia cả hai vế cho ab )

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Một đường thẳng đi qua điểm M ( 5 ; -3) cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó.

Trả lời:

Giả sử A( a; 0); B( 0; b)

Vì M là trung điểm AB => ( a + 0) : 2 = 5 ; ( 0 + b ) : 2 = -3 => a = 10 ; b = -6

Phương trình đường thẳng đi qua A( 10; 0) và B (0; -6) là

+ = 1 ( phương trình đoạn chắn) ó 3x – 5y – 30 = 0

Bài 2: Cho tam giác ABC có M( -1;1), N(1; 9), P( 9; 1) lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Hãy viết phương trình đường trung trực của BC.

Trả lời:

= ( 2; 8)

Đường trung trực của cạnh BC đi qua P và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là : 2.( x – 9) + 8.( y – 1) = 0 hay x + 4y – 13 = 0

Bài 3: Cho đường thẳng d : 4x – 3y + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d và cách đều hai điểm E( 5; 0); F( 3; -2)

Trả lời:

Vì M thuộc đường thẳng d => M( 4t ; -3 + 4t)

Điểm M cách đều 2 điểm E và F => EM² = FM²

<=> ( 4t – 5)² + ( 3t – 3)² = ( 4t – 3)² + ( 3t – 1)²

<=> t = => M( ; )

Bài 4 : Đường thẳng ∆ ở hình biểu thị tổng chi phí lắp đặt và tiền cước sử dụng dịch vụ Internet (đơn vị: trăm nghìn đồng) theo thời gian của một gia đình (đơn vị: tháng).

a) Viết phương trình của đường thẳng ∆ .

b) Cho biết giao điểm của đường thẳng ∆ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì.

c) Tính tổng chi phí lắp đặt và sử dụng Internet trong 12 tháng đầu tiên.

Trả lời:

a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm lần lượt có tọa ̣độ (0;5) và (5;20) nên ∆ có phương trình là: = ó = ó = ó 3x – y + 5 = 0 óy = 3x + 5

b) Giao điểm của đường thẳng ∆ với trục Oy ứng với x = 0 .

Thời điểm x = 0 cho biết mức phí ban đầu lắp đặt để sử dụng Internet.

Khi x = 0 thì y = 5 => chi phí lắp đặt ban đầu là 500000 đồng.

c) x = 12 => y = 3 . 12 + 5 = 41 ( trăm nghìn đồng)

Vậy tổng chi phí lắp đặt và sử dụng Internet trong 12 tháng đầu tiên là 4100000 đồng.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho điểm K (1; 2). Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua K và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

Trả lời:

*TH1 :Đường thẳng d đi qua gốc O => d : y = kx ; d đi qua K( 1; 2) => d: y = 2x

*TH2 : Đường thẳng d không đi qua gốc O => d: + = 1

Đường thẳng chắn trên hai trục tọa độ 2 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau => |a| = |b|

+) nếu b = a => d : x + y = a. Vì d đi qua K(1; 2) => a = 3 => d: x + y = 3

+) nếu b = -a => d: x – y = a. Vì d đi qua K( 1; 2) => a = -1 => d : x – y = -1

Vậy có 3 đường thẳng thỏa mãn là : 2x – y = 0; x + y – 3 = 0 ; x – y + 1 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua M (3; 2) và cắt tia Ox tại A; cắt tia Oy tại B sao cho OA + OB = 12

Trả lời:

Giả sử A( a; 0) ; B( 0; b) => d : + = 1 hay bx + ay – ab = 0

OA + OB = 12 ó a + b = 12 ó b = 12 – a

d đi qua M ( 3; 2) => 3b + 2a – ab = 0 ó 3.( 12 – a) + 2a – a.(12 – a) = 0

<=> a² – 13a + 36 = 0 ó a = 9 hoặc a = 4

+) a = 9 => b = 3 => d : 3x + 9y – 27 = 0

+) a = 4 => b = 8 => d : 8x + 4y – 32 = 0

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm I (1;−1) và hai đường thẳng

d₁ : x + y − 3 = 0; d₂ : x − 2y − 6 = 0 . Hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng d₁ ; d₂ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Trả lời:

A d₁ => giả sử A ( a; 3 – a)

B d₂ => giả sử B ( 2b + 6 ; b)

I là trung điểm AB => ( a + 2b + 6) : 2 = 1 ; ( 3 – a + b ) : 2 = - 1

<=> a + 2b = -4; a – b = 5

<=> a = 2 ; b = -3

=> A( 2; 1) ; B(0; -3) => = ( 2; 4)

Vậy đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là : = ( 2; 4)

Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 0; 2) và đường thẳng d : x – 2y + 2 = 0. Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và thỏa mãn AB = 2. BC

Trả lời:

Do B, C thuộc đường thẳng d => B( - 2 + 2b ; b) ; C( - 2 + 2c ; c) ( b ≠ c)

= ( -2 + 2b; b - 2) ; = ( 2c – 2b; c - b)

Tam giác ABC vuông tại B => . = 0

<=> ( -2 + 2b).( 2c – 2b) + (b – 2).( c – b) = 0

<=> -5b² + 5bc – 6c + 6b = 0

<=> ( 6 – 5b).(b – c) = 0

<=> b = ( vì b ≠ c ) => B( ; )

AB = 2.BC => AB² = 4.BC²ó + = 4.[(2c - )² + ( c - )²]

<=> c = 1 hoặc c =

<=> C(0; 1) hoặc C(;