BÀI 21 : ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình :

( x – 2)² + ( y – 5)² = 16

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 2; 5) và bán kính R = 4

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M_o(2;1) thuộc đường tròn :

(x −1)² + (y − 3)² = 5

Trả lời:

Phương trình tiếp tuyến là : (1 – 2).(x -2)+ (3 – 1).(y – 1) = 0 ⬄ x – 2y = 0

Bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I( -3; 2) và đi qua điểm M( 1 ; -1)

Trả lời:

R = MI = = 5

Phương trình đường tròn là : ( x + 3)² + ( y – 2)² = 25

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Phương trình x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0 có phải là phương trình đường tròn không ? Nếu có, hãy xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Trả lời:

x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0 ⬄ x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9 ⬄( x – 2)² + ( y + 1)² = 3²

Phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm I(2; -1) và bán kính R = 3

Bài 2: Viết phương trình đường tròn nhận AB là đường kính với A( 1; 1) và B( 7; 5)

Trả lời:

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB => I (4; 3)

R² = AI² = ( 4 – 1)² + ( 3 – 1)² = 13

Phương trình đường tròn là : ( x – 4)² + ( y – 3)² = 13

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) (x −1)² + (y + 2)² = 8.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d: x + y + 2023 = 0

Trả lời:

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d nên ∆ có dạng x − y + c = 0

d( I; Δ) = R ⬄ = 2 ⬄ | 3 + c| = 4 ⬄ c = -7 hoặc c = 1

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là : x – y + 1 = 0 hoặc x – y – 7 = 0

Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(−1;1), B(0;−2),C(0;2)

Trả lời:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I( a; b)

Ta có IA = IB = IC => IA² = IB² = IC²

=> ( -1 – a)² + ( 1 – b)² = ( 0 – a)² + (-2 – b)²

( 0 – a)² + ( -2 – b)² = ( 0 – a)² + ( 2 – b)²

⬄ 2a – 2b = 4b + 2

b = 0

⬄ a = 1 ; b = 0 => tâm I( 1; 0)

Ta có : R² = IC² = ( 0 – 1)² + (2 – 0)² = 5

Phương trình đường tròn là : ( x – 1)² + y² = 5

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0 và điểm hai điểm A(1;−1); B(1;3).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B

Trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I( 3; -1) ; bán kính R = = 2

a) IA = 2 = R => điểm A thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận = ( 2; 0) là vectơ pháp tuyến

=> Phương trình tiếp tuyến là : 2.( x – 1) + 0.( y + 1) = 0 hay x = 1

b) IB = 2 > R => điểm B nằm ngoài đường tròn

Phương trình đường thẳng Δ đi qua B có dạng : a.( x – 1) + b.( y – 3) = 0

⬄ ax + by – a – 3b = 0

Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d (I;∆) = R

⬄ = 2 ⬄ ( a – 2b)² = a² + b² ⬄ 3b² – 4ab = 0 ⬄ b = 0 hoặc 3b = 4a

+) b = 0 , chọn a =1 => phương trình tiếp tuyến là x =1.

+) 3b = 4a , chọn a = 3,b = 4 => phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y −15 = 0

Vậy qua B kẻ được 2 tiếp tuyến là x =1 và 3x + 4y −15 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A(1;2), B(4;1) . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B.

Trả lời:

Gọi I là tâm của (C). Vì I ∈ d => I (t; 2 t− 5) .

Hai điểm A, B ∈ (C) nên IA = IB ⇔ (1− t)² + (7 − 2t)² = (4 − t)² + (6 − 2t)² ⇔ t =1

=> I (1;−3) ; R = IA = 5 .

Vậy phương trình đường tròn: ( x −1)² + ( y + 3)² = 25

Bài 3: Cho phương trình x² + y² – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 (*)

a) Tìm điều kiện của m để (*) là phương trình đường tròn

b) Nếu (*) là phương trình tròn , hãy tìm tâm và bán kính theo m

Trả lời:

a) Phương trình (*) là phương trình đường tròn ⬄ a² + b² – c >0

a² + b² – c > 0 ⬄ m² + [2.(m – 2)]² – ( 6 – m) > 0

⬄ 5m² – 15m + 10 > 0 ⬄ m > 2 hoặc m < 1

b) Tâm I (m ; 2(m – 2)) ; R =

Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho d: 2x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc d

Trả lời:

Gọi I(m; 2m - 4) thuộc d là tâm của đường tròn (C).

Ta có d(I;0x) = d(I;Oy) ⇔ | 2m – 4| = |m| ⇔ m = 4 hoặc m =

m = 4 => I ( 4; 4) ; R = 4 => (C) : ( x – 4)² + ( y – 4)² = 16

m = => I ( ; ) ; R = => (C) : ( x – )² + ( y + )² =

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng (Oxy) , cho (C) : ( x − 2)² + ( y −1)² = 5 . Tìm M ∈ ∆ : x + y + 2 = 0 sao cho qua M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB thỏa mãn diện tích tứ giác MAIB bằng 10, với I là tâm đường tròn

Trả lời:

(C) có tâm I( 2; 1); R = = AI

S_MAIB = 2.S_AMI = 2.. AM. AI = 10 => AM = 2 => MI = = 5

M ∈ ∆ : x + y + 2 = 0 => M( a; 2 – a)

MI = 5 ⬄ ( 2 – a)² + ( 1 – a)² = 25 ⬄ a² – 3a – 10 = 0 ⬄ a = 5 hoặc a = -2

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là M (5 ; -3) hoặc M( -2; 4)

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , một vật chuyển động tròn đều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn tâm I(3;2) bán kính 5 dưới tác dụng của lực căng dây. Khi vật chuyển động tới điểm M (6;6) thì dây căng bị đứt.

a) Viết phương trình quỹ đạo chuyển động của vật sau khi dây bị đứt, biết rằng vật chỉ chịu tác động của duy nhất lực căng dây trong bài toán này.

b) Một vật khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng có phương trình ∆ : 3x + 4y + 23 = 0. Chứng minh hai vật này không gặp nhau tại bất kì thời điểm nào.

Trả lời:

a) Quỹ đạo chuyển động của vật thứ nhất trước khi dây bị đứt là đường tròn (C) có phương trình: (x − 3)² + (y − 2)² = 5² ⇔ (x − 3)² + (y − 2)² = 25.

Khi dây bị đứt, do vật thứ nhất chỉ chịu tác động của duy nhất lực căng dây nên vật đó tiếp tục chuyển động theo tiếp tuyến Mt tại điểm M (6;6) thuộc đường tròn (C) .

Phương trình tiếp tuyến Mt là:

(3 – 6).(x – 6) + (2 – 6).(y – 6) = 0 ⬄3x + 4y – 42 = 0

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thứ nhất sau khi dây bị đứt là tia Mt , đường thẳng Mt có phương trình là: 3x + 4y − 42 = 0

b) Khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆ : 3x + 4y + 23 = 0 là:

IH = = 8 > 5

Vì khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆ lớn hơn bán kính của đường tròn (C) nên đường tròn (C) và đường thẳng ∆ không có điểm chung, tức là vật thứ hai không gặp vật thứ nhất khi dây chưa đứt.

Mặt khác, vì ∆ // Mt nên vật thứ hai không gặp vật thứ nhất sau khi dây bị đứt. Vậy hai vật không bao giờ gặp nhau.

Bài 3: Cho phương trình : x² + y² + (m + 2) x − (m + 4) y + m +1 = 0 (*)

a) Chứng minh rằng (*) là phương trình một đường tròn.

b) Tìm tập hợp tâm đường tròn khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn luôn đi qua hai điểm cố định

Trả lời:

a) x² + y² + (m + 2) x − (m + 4) y + m +1 = 0

⬄ x² + (m + 2).x + + y² – (m + 4)y + = + – m – 1

⬄( x + )² + ( y + )² = + – m – 1

Ta thấy : + – m – 1 = > 0

=> (*) là phương trình đường tròn với mọi m

b) Tâm I ( ; ) => x + y – 1 = 0

Vậy tập hợp tâm đường tròn là đường thẳng ∆ : x + y −1 = 0

c) Gọi M ( x_o ; y_o ) là điểm cố định mà đường tròn luôn đi qua

x_o² + y_o² + (m + 2).x_o − (m + 4).y_o + m +1 = 0

⬄ (x_o – y_o +1).m + x_o² + y_o² + 2.x_o – 4.y_o +1 = 0

⬄ x_o – y_o +1 = 0 ; x_o² + y_o² + 2.x_o – 4.y_o +1 = 0

⬄ x_o -1 ; y_o = 0 hoặc x_o = 1; y_o = 2

Vậy 2 điểm cố định mà đường tròn luôn đi qua với mọi m là M₁( -1; 0) và M₂ ( 1; 2)

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x² + y² − 4x − 2y = 0 và đường thẳng ∆ : mx − y − 3m − 2 = 0 . Biện luận theo m số giao điểm của ∆ và (C)

Trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) ; R =

Ta có : h = d( I ; Δ) =

+) h < R ⬄ < ⬄ m > 2 hoặc m < => ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

+) h = R ⬄ = ⬄ m = 2 hoặc m = => ∆ tiếp xúc (C).

+) h > R ⬄ > ⬄ < m < 2 => ∆ không cắt (C)