BÀI 22: BA ĐƯỜNG CONIC (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip ?

a) + = 1 b) + = 1 c) + = 0

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường elip + = 1 ( a > b > 0) => phương trình b thỏa mãn.

Bài 2: Xác định tiêu điểm, tiêu cự của hypebol (H) : - = 1

Trả lời:

a² = 4 ; b² = 3 => c = = 5

=> Tiêu điểm F₁ ( -5; 0) ; F₂ ( 5; 0) ; tiêu cự = 2c = 10

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết (P) có tiêu điểm là F(5;0)

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 2px( p > 0)

(P) có tiêu điểm là F(5;0) => = 5 => p = 10

=> phương trình chính tắc (P) : y² = 20x

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là F₂ (5;0) và đi qua điểm M (0;3)

Trả lời:

Elip (E) có phương trình chính tắc là: + = 1 ( a > b > 0)

Do F₂ (5;0) là một tiêu điểm của (E) => c = 5 .

Điểm M (0;3) nằm trên (E) nên + = 1 => b² = 9 => a² = b² + c² = 9 + 25 = 34

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: + = 1

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol (H ) có một tiêu điểm là F₂ (6;0) và đi qua điểm A₂ (4;0)

Trả lời:

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là: - = 1 ( a > 0; b > 0)

A₂ (4;0) thuộc (H) => - = 1 => a = 4

Hypebol (H ) có một tiêu điểm là F₂ (6;0) => c = 6 => b² = c² – a² = 36 – 16 = 20

Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là: - = 1

Bài 3: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc y² = 4x. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Nếu A(1; 2) thì tọa độ của B bằng bao nhiêu ?

Trả lời:

(P) : y² = 4x có tiêu điểm F( 1;0) mà điểm A( 1; 2) => đường thẳng AF : x = 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ y² = 4x ; x= 1 => y = ±2

Mà A và B là 2 điểm phân biệt => B( 1; -2)

Bài 4: Cho điểm M nằm trên Hypebol (H) : - = 1. Nếu điểm M có hoành độ bằng 12 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là bao nhiêu ?

Trả lời:

Ta có : a² = 16; b² = 20 => c² = a² + b² = 36 => a = 4; b = 2 ; c = 6

Tiêu điểm F₁( -6; 0) ; F₂( 6; 0)

M có hoành độ x = 12

=> MF₁ = | a + .x| = | 4 + .12| = 22; MF₂ = | a - .x| = | 4 - .12| = 14

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Lập phương trình chính tắc elip, biết tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình (C) : x² + y² = 4 và AC = 2BD , A thuộc Ox.

Trả lời:

Giả sử đỉnh của hình thoi là A(a;0); B( 0; b) => AC = 2a ; BD = 2b .

Theo giả thiết : AC = 2BD ⇔ 2a = 2.2b ⇔ a = 2b

Đường tròn (C) có R = 2 .

Gọi H là hình chiếu của O lên AB với B(0;b) . Khi đó ta có:

+ = = ⬄ + = ⬄ + = ⬄ b² = 5 => a² = 20

Vậy phương trình elip là : + = 1

Bài 2: Cho số m > 0. Chứng minh rằng hypebol (H ) có các tiêu điểm F₁ (−m;m) , F₂ (m;m) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H ) tới các tiêu điểm là 2m , có phương trình x.y =

Trả lời:

Xét điểm tùy ý M ( x; y) ∈ (H ) .

Ta có |MF₁ – MF₂| = 2m

⬄| - | = 2m

⬄ x² + y² = .

⬄ ( x² + y²)² = (x² + y² + 2m²)² – (2mx + 2my)²

⬄ (x² + y² + 2m²)² - ( x² + y²)² = (2mx + 2my)²

⬄ (x² + y² + 2m² + x² + y²).( x² + y² + 2m² - x² - y²) = (2mx + 2my)²

⬄ m².m² = 2m²xy

⬄ m² = 2xy ( vì m > 0)

⬄ x.y = ( đpcm)

Bài 3: Cho parabol (P) : y² =12x có tiêu điểm F . Tìm hai điểm A , B trên (P) sao cho tam giác OAB có trực tâm là F.

Trả lời:

Ta có: F (3;0) nên tam giác OAB nhận F là trực tâm thì A , B đối xứng qua Ox .

Gọi A(m; n) thì B(m; − n) , m ≠ 0

Ta có :

+) Điểm A thuộc (P) => n² = 12m

+) OA vuông góc với BF => m.(m – 3) – n² = 0

⬄ m² – 15m = 0 ⬄ m = 15 ( do m ≠ 0) => n² = 180 => n = ±6

Vậy A( 15; 6) và B( 15 ; - 6)

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C): x² + y² = 8 và elip (E) :

+ = 1. Tính diện tích hình chữ nhật có bốn đỉnh là các giao điểm của đường tròn (C) và elip (E) .

Trả lời:

(C) : x² = 8 – y² ; (E) : x² = 16 – 3y²

Giao điểm của (C) và (E) là nghiệm phương trình 8 – y² = 16 – 3y²

⬄ y = ±2 => x = ±2

=> các giao điểm của (C) và (E) là M(2; 2); N( -2 ; 2); P( -2; -2); Q(2; -2)

Cạnh hình vuông là MN = 4 => diện tích hình vuông = 16

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E): + = 1 và điểm M (1;1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.

Trả lời:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (E) ta có + < 1=> điểm M nằm trong (E)

=> mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi A( x; y) ∈ (E) nên + = 1

Do M (1;1) là trung điểm của AB nên B(2 − x; 2 − y) .

Vì B ∈(E) nên + = 1

⬄ + = 1

⬄ + + + = 1

⬄ + = 0 ⬄ 9x + 25y – 34 = 0 (*)

Thay tọa độ điểm A, B thấy thỏa mãn (*)

=> phương trình đường thẳng Δ : 9x + 25y – 34 = 0

Bài 2: Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt hình hypebol có phương trình - = 1. Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta có : HK = 150 ; OH = . OK => OH = 60 m; OK = 90 m

Đường thẳng qua H, vuông góc với Oy là : Δ₁ : y = 60

Δ₁ cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn - = 1

=> x = 4 48,826 m

Đường thẳng qua K, vuông góc với Oy là Δ₂ : y = -90

Δ₂ cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn - = 1

=> x = 4 66,212 m

Vậy bán kính nóc của tháp 48,826 m; bán kính đáy của tháp 66,212 m

Bài 3: Cho hai parabol lần lượt có phương trình y² = 2 px và y = ax² + bx + c . Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.

Trả lời:

Tọa độ giao điểm của hai parabol đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

y² = 2 px và y = ax² + bx + c

⬄ ay² = 2apx và y = ax² + bx + c

=> ay² – y = 2apx - ax² - bx – c

⬄ x² + y² - .x - .y + = 0 là phương trình đường tròn.

Vậy bốn giao điểm nằm trên một đường tròn.

Bài 4 : Ông Hoàng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với Elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức S = πab , với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là không đáng kể.

Trả lời:

Diện tích (E) : S_E = πab = π 30. 15 = 450π (m²)

Vì đường tròn tiếp xúc trong nên tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ

=> đường tròn có bán kính R = 15 m

Diện tích hình tròn (C) phần trồng cây lâu năm là : S_C = π.R² = 225π (m²)

Diện tích phần trồng hoa màu là : S = S_E – S_C = 225π (m²) => T = 1