CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là trung điểm của đoạn . Tìm giá trị thực của thỏa mãn đẳng thức vectơ .

Vì lần lượt là trung điểm của

Mặt khác do là trung điểm của

Ta có:

Vì suy ra .

CHƯƠNG 2: VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý:

• Vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là được kí hiệu là .
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là
• Độ dài của vectơ được kí hiệu là , độ dài của vectơ được kí hiệu là .

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và cạnh bên bằng .

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của hình chóp?

b) Trong các vectơ đó, có những vectơ nào nằm trong mặt phẳng đáy.

c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.

Giải:

a) Có bốn vectơ là: .

b) Trong các vectơ trên các vec tơ có giá nằm trong mặt phẳng đáy là: .

c) Vì hình chóp có các cạnh đáy bằng 1 nên .

Vì cạnh bên của hình chóp có độ dài bằng nên .

Vì là hình vuông nên

Vậy .

• Tương tụ như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
• Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý:

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

• Trong không gian, với mỗi điểm và vectơ cho trước, có duy nhất điểm sao cho .
• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như gọi là các vectơ-không.
• Ta quy ước vectơ – không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là .

Ví dụ 2: Cho hình lập phương .

a) Vectơ nào cùng hướng với ?

b) Vectơ nào ngược hướng với vectơ ?

c) Vectơ nào bằng với vectơ ?

Giải:

a) Vectơ cùng hướng với vectơ là , , .

b) Vectơ ngược hướng với vectơ là , , .

c) Vectơ bằng với vectơ là .

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

a) Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm bất kì và các điểm sao cho , . Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu .

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

• Nếu là ba điểm bất kì thì
• Nếu là hình bình hành thì

Ví dụ: Cho hình lăng trụ Tìm các vectơ tổng

.

Giải:

Ta có:

Chú ý: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

• Tính chất giao hoán:
• Tính chất kết hợp:
• Với mọi vectơ , ta luôn có:

Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp . Ta có:

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật Tìm vectơ ?

Giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

b) Hiệu của hai vectơ

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Chú ý:

• Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng .
• Vectơ là một vectơ đối của vectơ .
• Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

Định nghĩa:

Vectơ được gọi là hiệu của hai vectơ và và kí hiệu là . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì trong không gian, ta có:

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm vectơ hiệu

Giải:

Do là hình bình hành nên ta có:

Khi đó:

3. Tích của một số với một vectơ

--------------- Còn tiếp ---------------