3.17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng (ABB'A') thì các hình chiếu đứng của A và D trùng nhau.

b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng (ABCD) thì các hình chiếu bằng của C và C' trùng nhau.

c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng (BCC'B') thì các hình chiếu cạnh của A và C trùng nhau.

Giải chi tiết:

Mệnh đề đúng là: a, b.

3.18. Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.

Giải chi tiết:

Bản vẽ trong Hình 3.50 thể hiện duy nhất một vật thể cần được biểu diễn, tuy nhiên kích thước của vật thể không được xác định đầy đủ từ bản vẽ nên bản vẽ không đáp ứng được nguyên tắc đầy đủ của vẽ kĩ thuật. Kích thước bị thiếu là:

3.19. Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại O. Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P1), (P2) và (P3). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P1) và (P2), (P2) và (P3), (P3) và (P1).

a) Chứng minh OA2=OM2+ON2+OP2.

b) Áp dụng ý a để chứng minh

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Giải chi tiết:

a) Tam giác OMA vuông tại M có: OA2=OM2+AM2 (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA2=ON2+AN2 (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA2=OP2+AP2 (3)

Cộng hai vế của (1)(2)(3) ta có:

3OA2=(OM2+ON2+OP2)+(AM2+AN2+AP2)

Ta chứng minh được: AM2+AN2+AP2=2OA2. (4)

Suy ra: OA2=OM2+ON2+OP2.

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA3 nên AM vuông góc AA3

Mà AA3 vuông góc với OA3

Suy ra: AM // OA3, và AA3 // OM nên AMOA3 là hình bình hành.

Do đó: AM = OA3.

Chứng minh tương tự: AN = OA1, AP = OA2

Thay kết quả trên vào (4) ta được:

3.20. Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?

Giải chi tiết:

Bạn Long không đúng. Vì hệ số biến dạng p, q, r là tỷ số giữa kích thước trên hình vẽ và kích thước thực của vật thể theo các trục x, y, z nên nếu trong trường hợp kích thước hình vẽ lớn hơn kích thước thực của vật thể thì hệ số biến dạng sẽ lớn hơn 1.

3.21. Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh A3B3 của đoạn thẳng đó.

b) Biết A1B1 = 10 cm và A2B2 = 6 cm, tính độ dài của A3B3.

Giải chi tiết:

a) Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh A3 của A và B3 của B.

Để xác định A3 ta làm như sau: Qua điểm A2 vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên Ox lấy điểm D sao cho OC = OD. Đường thẳng qua A1 và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại A3. Tương tự xác định B3. Nối A3 và B3 ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.

b) Dễ dàng chứng minh tứ giác A1A2B2E là hình chữ nhật.

Do đó: A1E = A2B2.

Tam giác A1B1E vuông tại E: A1E2+B1E2=A1B21

3.22. Sử dụng thước đo góc nếu cần thiết, hãy cho biết hình nào trong Hình 3.52 là hình chiếu trục đo vuông góc đều.

Giải chi tiết:

Hình 3.52b có các góc trục đo khác 120∘ nên không là hình chiếu trục đo vuông góc đều. Hình 3.52a và 3.52c là hình chiếu trục đo vuông góc đều.

3.23. Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó.

Giải chi tiết:

Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả một chiếc xe buýt. Hình a, b, c là hình chiếu vuông góc; hình d là hình chiếu trục đo.

3.24. Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. Quy ước chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, hãy lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể đó và tính thể tích của nó.

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận thấy rằng vật thể có dạng khối chữ H được bao bởi một hình hộp chữ nhật, hai phần rãnh cũng là hình hộp chữ nhật.

Bước 2: Chọn các hướng chiếu lần lượt vuông góc với mặt trước, mặt trên và mặt bên trái của vật thể.

Bước 3: Lần lượt vẽ hình chiếu vuông góc của hình hộp chữ nhật bao bên ngoài vật thể, của khối chữ H và của rãnh hộp chữ nhật.

a)

b)c)

Bước 4: Xóa các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo quy tắc: các đường thấy vẽ bằng nét liền; các đường khuất vẽ bằng nét đứt. Ghi các kích thước của vật thể trên các hình chiếu.

Bước 5: Vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Bước 6: Hoàn thành khung tên, khung bản vẽ để được bản vẽ cuối cùng có dạng như sau:

Ta có: Thể tích của giá chữ H bằng hiệu thể tích của hình hộp chữ nhật bao ngoài và thể tích của hai rãnh hộp chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật bao ngoài là: 60 x 30 x 50 = 90 000.

Thể tích rãnh hộp chữ nhật thứ nhất là: 30 x 20 x 30 = 18 000.

Thể tích rãnh hộp chữ nhật thứ hai là: 20 x 30 x 10 = 6 000.

Vậy thể tích của giá chữ H là: 90 000 - 18 000 - 6 000 = 66 000.