CHƯƠNG VI: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 17. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐ1:

- Chúng đều là đa thức (của biến )

- Bậc của đa thức là bậc 2.

Định nghĩa:

Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó, là các số thực cho trước , được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Luyện tập 1:

Biểu thức là tam thức bậc hai:

C.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai

HĐ2:

a)

, , , , .

cùng dấu với ,

trái dấu với .

b)

+) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

c)

+) : và cùng dấu với nhau

+) và trái dấu với nhau

+) và cùng dấu với nhau.

HĐ3:

a)

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

c)

+) : và cùng dấu với nhau

+) và trái dấu với nhau

+) và cùng dấu với nhau.

Nhận xét:

Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ (x₁ <x₂) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị (ở ngoài đoạn hai nghiệm) và trái dấu với a với mọi giá trị (ở trong khoảng hai nghiệm).

HĐ4:

Định lí:

Cho tam thức bậc hai

+) Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi

+) Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi và .

+) Nếu thì f(x) có hai nghiệm phân biệt và . Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ a với mọi f(x) trái dấu với hệ số a với mọi

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai có thể thay bởi .

Ví dụ 1 (SGK-tr.21)

Luyện tập 2:

a)

và nên với mọi .

b)

và nên f(x) có nghiệm kép và với mọi .

c)

và có hai nghiệm phân biệt là , . Ta có bảng xét dấu sau:

x
f(x)

với mọi và với mọi .

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ5.

Định nghĩa

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng (hoặc ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và .

- Số thực gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai nếu . Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

- Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét:

Để giải bất phương trình bậc hai (hoặc ) ta cần xét dấu của tam thức bậc hai , từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ 2: (SGK-tr.22)

Ví dụ 3: (SGK-tr.23)

Luyện tập 3:

a) Tam thức

có: và nên luôn âm với mọi .

Tập nghiệm

b) Tam thức

có và nên luôn dương với mọi .

Bất phương trình có nghiệm duy nhất là .

c) Tam thức

có nên có hai nghiệm là .

Mặt khác , do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm

*Vận dụng:

Xét bất phương trình

Nghiệm của phương trình là và

Do đó nghiệm của bất phương trình là

Vậy khoảng thời điểm
(s) trong quá trình bay của quả bóng thì nó sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.