CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1.

Tập hợp những điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với với giá của .

Định nghĩa: Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc với .

Nhận xét:

- Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì cũng là vectơ pháp tuyến của .

- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 (SGK – tr.31)

HĐ2.

Xét tích

hay có giá trùng với đường thẳng

Nhận xét:

Nếu đặt thì (1) còn được viết dưới dạng và được gọi là phương trình tổng quát của khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình tổng quát của .

Kết luận:

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng , với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng , với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2 (SGK – tr.31)

Luyện tập 1:

Đường cao AH đi qua điểm A(-1;5) có một vectơ pháp tuyến là .

Phương trình tổng quát của AH là:

Ví dụ 2 (SGK – tr.32)

Luyện tập 2:

Ta có:

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng

+) Nếu thì phương trình có thể đưa về dạng (với ) và vuông góc với

+) Nếu thì phương trình có thể đưa về dạng (với )

2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HĐ3.

Vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng thì nó sẽ di chuyển trên đường thẳng .

Định nghĩa: Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .

Nhận xét:

- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là vectơ chỉ phương của .

- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

- Vectơ vuông góc với các vectơ và nên nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì , là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 4 (SGK – tr.33)

Luyện tập 3:

Ta có:

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng là

HĐ4.

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng qua A(2;1) và có vectơ chỉ phương .

b) Giả sử tại thời điểm t, vật thể ở vị trí . Khi đó tức là:

Vậy

Định nghĩa: Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm M(x;y) thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho , hay

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng (t là tham số).

Ví dụ 5 (SGK – tr.33)

Luyện tập 4:

Ta có:

Vì

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(2;-3) và có vectơ chỉ phương là:

.

Ví dụ 6 (SGK – tr.33)

Luyện tập 5:

Ta có:

Phương trình tham số của đường thẳng AB:

Vì

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB:

Vận dụng:

Ta có:

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(0;32) và có là:

Khi ta có:

Khi ta có:

Vậy , tương ứng xấp xỉ