CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1.

HĐ1.

a) Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

(đúng)

Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

(đúng)

Vậy điểm thuộc cả hai đường thẳng trên.

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.

Kết luận:

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng: và

Khi đó toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình

+ cắt tại khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất .

+ song song khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm.

+ trùng khi và chỉ khi hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý:

Dựa vào các vectơ chỉ phương hoặc các vectơ pháp tuyến của , ta có:

+ và song song hoặc trùng nhau và cùng phương và cùng phương.

+ và cắt nhau và không cùng phương và không cùng phương.

Luyện tập 1:

a) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng và cắt nhau.

b) Ta có: , do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm thuộc nhưng không thuộc

Vậy hai đường thẳng và song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ2.

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Định nghĩa:

- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

- Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng .

HĐ3.

a)

b)

Kết luận:

Cho hai đường thẳng và với các vectơ pháp tuyến và tương ứng. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức

Chú ý:

+

+ Nếu , có các vectơ chỉ phương , thì góc giữa và cũng được xác định thông qua công thức

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Luyện tập 2:

Ta có:

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có:

Ví dụ 3 (SGK – tr.39)

Luyện tập 3

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có:

Luyện tập 4

a) Cho

luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ

b) Vì đường thẳng đi qua điểm O(0;0) nên có dạng: .

Mà song song hoặc trùng với nên

Vậy đường thẳng

c) Do đường thẳng song song với Δ nên . (hai góc ở vị trí đồng vị).

d) Gọi tọa độ điểm

Do thuộc nên

Có

Vậy .

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐ4.

a) Do và có cùng phương nên hoặc

b)

Ta có:

Mà nên ta có:

Vậy

c) Từ câu a và câu b ta có:

Suy ra

Kết luận:

Cho điểm và đường thẳng . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , kí hiệu là , được tính bởi công thức

Ví dụ 4 (SGK – tr.40)

TTrải nghiệm:

- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là độ dài đoạn MH bằng 2 đơn vị độ dài.

- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Luyện tập 5

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua có vectơ pháp tuyến là

hay

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến ta có:

Vậy khoảng cách từ M đến là 1.

Vận dụng

a) Tọa độ các điểm:

Đường thẳng có vecto chỉ phương

Chọn vecto pháp tuyến là: )

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là:

hay .

b) Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là:

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.