CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 21. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

HĐ1.

Điểm thuộc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách .

Hay:

Định nghĩa:

Điểm thuộc đường tròn , tâm , bán kính R khi và chỉ khi

Ta gọi là phương trình đường tròn

Ví dụ 1 (SGK – tr.43)

Luyện tập 1

Có tâm , bán kính

Nhận xét:

Phương trình (1) tương đương với

Ví dụ 2 (SGK – tr.44)

Nhận xét: Phương trình là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi

. Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính

Luyện tập 2

a) Đây không là phương trình của đường tròn vì hai hệ số của và không bằng nhau nên ta không thể biến đổi về dạng phương trình đường tròn.

b) Phương trình đã cho không là phương trình đường tròn vì

c) Ta có:

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(-3;2) và có bán kính

Ví dụ 3 (SGK – tr.44)

Luyện tập 2

Gọi điểm là tâm của đường tròn (C), ta có:

Ta có:

Vì nên ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

Vận dụng 1

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là . Khi đó, tổng chu vi ba bể là khi và chỉ khi

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S . Khi đó

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): có tâm O(0;0), bán kính và đường thẳng . Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Ta có:

Mà

Dấu “=” xảy ra khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C).

Vậy bán kính của bể nhỏ nhất cần tìm là

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐ2.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

(đúng)

Vậy M thuộc đường tròn (C).

b)

có tâm , bán kính

c) Do là một vectơ pháp tuyến của

Phương trình tổng quát của là:

Kết luận:

Cho điểm thuộc đường tròn (tâm I(a;b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến của (C) tại có vectơ pháp tuyến và phương trình

Ví dụ 4 (SGK – tr.46)

Luyện tập 4

Do , nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là

Phương trình tiếp tuyến là: hay

Vận dụng 2:

Khi tới vị trí M(3;4), vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó bay theo hướng tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M. Do đó d đi qua điểm M và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của d là: