BÀI 11. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HĐ1:

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc CBD và bằng .

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc ADB và bằng .

Kết luận:

Cho hai vectơ và khác Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ và . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và hay đơn giản là góc giữa hai vectơ kí hiệu là ( ).

Chú ý:

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị tùy ý từ đến .

+ Nếu ( )= thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc .

Đặc biệt, được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Câu hỏi:

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1 (SGK -tr66)

Luyện tập 1:

Vẽ , khi đó ADBC là hình bình hành

Do AD//BC nên ta có:

Vậy

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không và là một số, kí hiệu là được xác định bởi công thức sau:

.

Câu hỏi:

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

Chú ý:

+)

+) còn được viết là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Ta có .

Câu hỏi:

Nên thì , hay là cùng phương.

Ví dụ 2 (SGK-tr67)

Luyện tập 2:

Theo định lí cô sin, ta có:

Từ đó:

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ2:

a) = nên

=

Lại có:

Vậy .

b) Vì nên hai vectơ cùng hướng.

Ta có:

.

Vậy .

c) Vì nên hai vectơ ngược hướng.

Ta có:

.

Vậy .

HĐ3:

a) Tọa độ các điểm là A(x; y) và B(x'; y')

b)

c) Ta có:

Kết luận:

Tích vô hướng của hai vectơ và được tính theo công thức:

=

Nhận xét:

+ Hai vectơ và vuông góc với nhau khi và chỉ khi

+ Bình phương vô hướng của là .

+ Nếu và thì

Ví dụ 3 (SGK -tr68)

Luyện tập 3:

.

HĐ4:

a)

=

= .

= = .

b. = .

c. =

=.

Suy ra: =

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ bất kì và mọi số thực k, ta có:

• (tính chất giao hoán)
• (tính chất phân phối đối với phép cộng)
• 

Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được

;

Ví dụ 4 (SGK-tr69)

Luyện tập 4:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

Suy ra:

b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

Ta có: nên:

Vậy H(6; 2)

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

Vận dụng:

a) Công sinh bởi lực bằng: (1)

Công sinh bởi lực bằng (2)

Công sinh bởi lực bằng:

(3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và .

b) Vì có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực bằng . Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực bằng:

Do đó công sinh bởi lực bằng công sinh bởi lực