BÀI 22: BA ĐƯỜNG CONIC

1. KHỞI ĐỘNG

Các đường sau là đường gì?

1. NỘI DUNG BÀI HỌC
2. Elip
3. Hypebol

3.Parabol

4. Một số ứng dụng của ba đường conic.

III. PHẦN TRIỂN KHAI KIẾN THỨC

1. Elip

Em hãy đọc nội dung HĐ và trả lời câu hỏi.

HĐ1. Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).

Giải:

7. a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.
8. b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định và phân biệt . Đặt . Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là tiêu cự của elip đó.

Em hãy đọc nội dung Thách thức nhỏ và trả lời câu hỏi.

Thách thức nhỏ:

Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Giải:

Xét tam giác có: (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Em hãy đọc nội dung Ví dụ 1 và trả lời câu hỏi.

Ví dụ 1 (SGK – tr.49)

Cho lục giác đều . Chứng minh rằng bốn điểm củng thuộc một elip có hai tiêu điểm là và .

Hình ảnh

Giải:
Lục giác đều có các cạnh bằng nhau và các góc
đều có số đo là (H.7.19). Do đó, các tam giác , bằng nhau (c.g.c).

Suy ra .
Từ đó, ta có .
Vậy cùng thuộc một elip có hai tiêu điềm là và .

Em hãy đọc nội dung Luyện tập 1 và trả lời câu hỏi.

Luyện tập 1:

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Giải:

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là và . Bi lăn từ đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến . Vậy quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

Suy ra độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Thảo luận nhóm: hãy đọc nội dung HĐ2 và trả lời câu hỏi.

HĐ2. Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21).

2. a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.
3. b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

(1)

Giải:

1. a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm: và

1. b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh:

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên: hay

Giả sử ta chứng minh M thuộc elip (E). Thật vậy:

nên

⇒ M thuộc elip (E).

Chú ý: Người ta có thể biến đổi (1) về dạng , với

Kết luận:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

, với

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2) đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm , , tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Em hãy đọc nội dung Ví dụ 2 và trả lời câu hỏi.

Ví dụ 2 (SGK – tr.50)

Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mổi đi