CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 11: NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Chú ý:

Trường hợp thì các đẳng thức và được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm và đạo hàm bên trái tại điểm của hàm số , tức là

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của trên . Khi đó:
a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên ;
b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bới .

Chú ý:

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số trên , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của trên và khi đó

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số liên tục trên khoảng thì có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

.

.

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp