CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với ().

Chú ý:

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

• Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của

Trong không gian , cho hai vectơ và .

Khi đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và , được gọi là tích có hướng của và kí hiệu là .

Chú ý:

• khi và chỉ khi cùng phương.
• Với bốn số ta khí hiệu . Khi đó tích có hướng của và là

+ Trong không gian , hai vectơ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng .
+ Nếu là cặp vectơ chỉ phương của () thì là một vectơ pháp tuyến của .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Trong không gian, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Chú ý:

Trong không gian , mỗi phương trình (các hệ số , không đồng thời bằng 0 xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trì̀nh tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương .
• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến .

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

với hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

Khi đó:

Chú ý:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

Trong không gian , cho hai mặt phẳng

với hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

Khi đó:

Chú ý:

• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

• Hai mặt phẳng () và () trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số khác 0 sao cho

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: