1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TỨ GIÁC

HĐ1

Vì tam giác ABD vuông tại A nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn (O).

Vì tam giác CBD vuông tại C nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn (O).

Do đó, 4 đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của BD.

HĐ2

Ta có A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD.

Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của BC.

Vì OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.

Vì OD = OA nên O nằm trên đường trung trực của DA.

Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy tại O.

Kết luận: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

HĐ3

Sử dụng thước đo góc ta đo được và

Ta có:

Định lí:

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .

Luyện tập 1

a) Gọi là trung điểm của Vì các tam giác vuông với cạnh huyền chung nên Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Do tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180^o nên:

2. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH VUÔNG

HĐ4

a) Hình chữ nhật có

Suy ra (Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Vậy cách đều 4 đỉnh của .

b) Vì cách đều 4 đỉnh A, B, C, D nên hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm

Vì là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật nên

HĐ5

Xét vuông cân tại có:

cm

cm

Kết luận:

Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Luyện tập 2

Do MN là đường trung bình của nên MN // AC. Tương tự, NP // BD, PQ // AC, QM // BD.

Vì là hình thoi nên Do vậy

Suy ra là hình chữ nhật có đường chéo Gọi là giao điểm của và Khi đó MO, PO là đường trung bình của các tam giác ABC và ACD.

Suy ra MO // BC // AD // PO và

Như vậy M, O, P thẳng hàng. Do đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là