1. Vecto pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật một phản lực pháp tuyến , giá của vecto vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)

Giải chi tiết:

Giá của vectơ vuông góc với mặt bàn nên nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì giá của vectơ có phương thẳng đứng.

Luyện tập 1: Trong không gian , cho các điểm , . Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .

Giải chi tiết:

Ta có: .

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nên .

Vậy vecto là một vectơ pháp tuyến của .

Hoạt động 2: Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Trong không gian , cho hai vecto và .

a) Vecto có vuông góc với cả hai vecto và hay không?

b) khi và chỉ khi và có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

a) Ta có:

nên .

Lại có:

nên .

b) nên:

(*)

Vậy khi và chỉ khi và song song với nhau.

Luyện tập 2: Trong không gian , cho và . Tính .

Giải chi tiết:

Ta có: .

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian , cho hai vecto không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng .

a) Vecto có khác vecto không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của hay không?

b) Mặt phẳng có nhận làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Giải chi tiết:

a) Hai vecto không cùng phương nên vecto . Vì vecto là tích có hướng của hai vectơ nên giá của nó vuông góc với cả hai giá của .

b) Hai vecto có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng mà giá của vectơ vuông góc với cả hai giá của nên vecto . Vậy vecto là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Luyện tập 3: Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng , , . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải chi tiết:

Ta có:

.

Do đó là cặp vectơ chỉ phương và là một vectơ pháp tuyến của .

Vận dụng 1: Moment lực là một đại lượng Vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian , với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí một lực để vặn con ốc ở vị trí (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức

.

a) Cho . Tính .

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Giải chi tiết:

a) .

b) Ta có: .

Như vậy, khi giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi

Từ đó, để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tác động lực tại vị trí cách con ốc (O) càng lớn càng tốt

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Hoạt động 4: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian , cho mặt phẳng . Gọi là một vectơ pháp tuyến của và là một điểm thuộc .

a) Một điểm thuộc khi và chỉ khi hai vecto và có mối quan hệ gì?

b) Điểm thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Giải chi tiết:

a) Một điểm thuộc khi và chỉ khi hai vecto và vuông góc với nhau

b) Ta có:

Vì thuộc nên

Do đó:

Vậy điểm thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức:

Luyện tập 4: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) ;

b) ;

c) .

Giải chi tiết:

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình có dạng và thỏa mãn không đồng thời bằng 0 . Vì vậy, trong các phương trình trên chỉ có phương trình là phương trình mặt phẳng.

Luyện tập 5: Trong không gian , cho mặt phẳng .

a) Điểm có thuộc hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .

Giải chi tiết:

a) Do nên điểm thuộc

b) Mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Hoạt động 5: Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của .

Giải chi tiết:

Gọi điểm thuộc

Ta có:

Vì thuộc nên

Do đó:

Vậy phương trình của là:

Luyện tập 6: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục .

Giải chi tiết:

Vì mặt phẳng vuông góc với trục nên mặt phẳng nhận vectơ là vectơ pháp tuyến

Lại có mặt phẳng đi qua điểm nên phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

Hoạt động 6: Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương , .

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng .

Giải chi tiết:

a) Vì mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương , nên là một vectơ pháp tuyến của

Ta có:

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

b) Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Luyện tập 7: Trong không gian , cho các điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đồng thời song song với trục và đường thẳng .

Giải chi tiết:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Hoạt động 7: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng:

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng .

Giải chi tiết:

a) Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là:

và

b) Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Vận dụng 2: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí của vật tương ứng với các thời điểm , , .

b) Chứng mình rằng không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng .

c) Vị trí có luôn thuộc mặt phẳng hay không?

Giải chi tiết:

a) Với thì

Với thì

Với thì

b) Ta có và

Nhận xét: nên và không cùng phương

Do đó 3 điểm không thẳng hàng

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

(*)

c) Thay vào (*) ta có:

(luôn đúng)

Vậy điểm luôn thuộc mặt phẳng

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Hoạt động 8: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

, với hai vectơ pháp tuyến , tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai giá của có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến tương ứng có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kỳ tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên giá của vuông góc với mặt phẳng

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên giá của vuông góc với mặt phẳng

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của

b) Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc của chúng bằng

Mặt khác góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của

Do đó, hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau

Luyện tập 9: Trong không gian , hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

Giải chi tiết:

Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:

Ta có:

Do đó 2 mặt phẳng không vuông góc với nhau

Vận dụng 3: (H.5.10) Trong không gian , sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh . Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Giải chi tiết:

a) Bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường vuông góc với sàn là:

• Mặt phẳng

• Mặt phẳng

• Mặt phẳng chứa 2 điểm A, B

• Mặt phẳng chứa 2 điểm B, C

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

b) Những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau:

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Hoạt động 9: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Trong không gian , cho hai mặt phẳng

;

,

Với các vecto pháp tuyến tương ứng. Nếu hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

Nếu hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ pháp tuyến song song hoặc trùng nhau

Do đó cùng phương với nhau

Luyện tập 10: Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

và .

a) Hỏi và có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm không thuộc mặt phẳng nhưng thuộc mặt phẳng .

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với .

Giải chi tiết:

a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:

Do và nên hai mặt phẳng không song song với nhau

b) Do và nên điểm không thuộc mặt phẳng nhưng thuộc mặt phẳng

c) Do mặt phẳng song song với nên mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Vận dụng 4: Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian , người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình .

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Giải chi tiết:

a) Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là

Khi đó điểm biểu diễn kết quả của thí sinh đó là

Ta có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 nên:

Do nên thuộc một mặt phẳng có phương trình .

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:

.

b) Xét 3 mặt phẳng lần lượt là:

Chứng minh tương tự câu a):

• Các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 20 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:

.

• Các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 24 (nếu có) cùng thuộc một mặt phẳng có phương trình:

.

Ta có 3 mặt phẳng có vecto pháp tuyến và nên 3 mặt phẳng song song với nhau

Vậy tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Hoạt động 10: Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng

có vecto pháp tuyến .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số để . Tính tọa độ của theo , tọa độ của và các hệ số .

b) Thay tọa độ của vào phương trình mặt phẳng để từ đó tính theo tọa độ của và các hệ số .

c) Từ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng theo tọa độ của và các hệ số . Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Giải chi tiết:

a) Vì N là hình chiếu của M trên nên

Mặt khác có vecto pháp tuyến

Do đó 2 vecto và cùng phương với nhau ⇒ tồn tại số để

Giả sử

Ta có:

b) Thay vào phương trình mặt phẳng ta có:

c) Ta có:

Do đó

Hay

Suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Luyện tập 11: Trong không gian , cho hai mặt phẳng

và .

a) Chứng minh rằng và song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc , tính khoảng cách từ điểm đó đến . Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Giải chi tiết:

a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:

Do và nên hai mặt phẳng song song với nhau

b) Lấy điểm thuộc mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến là:

Vì hai mặt phẳng song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng khoảng cách từ điểm M đến , do đó:

Vận dụng 5: (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Xét vuông tại O, ta có:

hay

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 5.1 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục .

Giải chi tiết:

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với trục Ox nên nhận làm một vectơ pháp tuyến

Hơn nữa đi qua nên có phương trình:

Giải chi tiết bài 5.2 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hình hộp , với .

a) Tính tọa độ các điểm .

b) Viết phương trình mặt phẳng .

Giải chi tiết:

a) Ta có:

Ta có:

và

và

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Giải chi tiết bài 5.3 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng:

Giải chi tiết:

Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng nên nhận hai vectơ làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là:

Mà thuộc mặt phẳng nên phương trình là:

Giải chi tiết bài 5.4 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm , song song với trục và vuông góc với mặt phẳng .

Giải chi tiết:

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

Như vậy, mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Giải chi tiết bài 5.5 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng

.

Giải chi tiết:

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là:

Giải chi tiết bài 5.6 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai mặt phẳng ,

. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Giải chi tiết:

Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:

Do và nên hai mặt phẳng song song với nhau

Lấy điểm thuộc mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến là:

Giải chi tiết bài 5.7 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho hai mặt phẳng ,

.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm thuộc trục và cách đều hai mặt phẳng và .

Giải chi tiết:

a) Hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến tương ứng là:

Ta có:

Do đó 2 mặt phẳng vuông góc với nhau

b) Điểm thuộc trục nên toạ độ của có dạng:

Do cách đều hai mặt phẳng và nên:

Vậy hoặc

Giải chi tiết bài 5.8 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Bác An dự định làm bốn mái của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Giải chi tiết:

Đặt hệ trục toạ độ như hình bên:

Hình chóp đều có đáy là hình vuông với độ dài cạnh a và cạnh bên với độ dài b

Ta cần xác định xem 2 mặt phẳng có vuông góc với nhau không

Do là hình vuông nên

Xét vuông tại O nên:

Khi đó:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vecto pháp tuyến là:

Ta có:

..=

Do đó 2 mặt phẳng không vuông góc với nhau

Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên

Giải chi tiết bài 5.9 trang 39 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng , trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng , mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng

. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần nhà tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Giải chi tiết:

Mặt phẳng chứa sàn nhà: , có vecto pháp tuyến

Mặt phẳng chứa trần nhà tầng 1: , có vecto pháp tuyến

Mặt phẳng chứa mái tầng 2: , có vecto pháp tuyến

Ta có: và nên hai mặt phẳng song song với nhau

Vậy mặt phẳng chứa sàn nhà và mặt phẳng chứa trần nhà tầng 1 song song với nhau

Giải chi tiết bài 5.10 trang 40 sách toán 12 tập 2 kntt

Xét một cối xay lúa trong không gian , với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí ) một lực thì moment lực được tính bởi công thức (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ và luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực có giá song song với . Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực có phương thẳng đứng?

Giải chi tiết:

Các thanh gỗ và luôn có phương nằm ngang và vectơ lực có giá song song với nên hai vecto và có giá nằm ngang

Mà moment lực được tính bởi công thức nên vecto vuông góc với hai vectơ và

Do đó vectơ moment lực có phương thẳng đứng