Giải Toán 12 kết nối: Bài 6 Vectơ trong không gian

Hướng dẫn giải Toán 12 kết nối tri thức: Giải bài 6 Vectơ trong không gian. Bài được giải chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu. Bài giải giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa, rèn kĩ năng giải bài tập và có phương pháp học tập hiệu quả.

Bài khác

Nội dung chi tiết

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Nhận biết vectơ trong không gian

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

  1. Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
  2. Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phảng không?

Giải chi tiết:

  1. Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.
  2. Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Luyện tập 1: Cho hình lập phương 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.6). Trong các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

  1. Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN?
  2. Hai vectơ nào có cùng độ dài?

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

  1. Hai vectơ đó là 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vì chúng có giá nằm trong mặt phẳng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình lập phương nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên theo định lý Pythagore ta có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên theo định lý Pythagore ta có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vậy nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN hay 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vậy hai vectơ1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng độ dài.

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian.

Cho hình hộp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.7).

  1. So sánh độ dài của hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Nhận xét về giá của hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  3. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng phương không? Có cùng hướng không?

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình hộp nên1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là các hình bình hành. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vậy nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là các hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vậy giá của hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN song song với nhau.
  3. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng phương và cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho hình chóp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có đáy 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành.

  1. Trong ba vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, vectơ nào bằng vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN?
  2. Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là một điểm thuộc cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Xác định điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sao cho 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

a. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN chéo nhau nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN không cùng phương. Do đó, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN không bằng nhau.

Vì hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN không cùng phương nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN không bằng nhau.

b. Qua 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vẽ đường thẳng song song với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cắt 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Lại có 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vậy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN song song với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vận dụng 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Giải chi tiết:

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng hướng.

Độ dài vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, độ dài vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vậy nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN không cùng phương. Lấy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và vẽ các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.10).

  1. Giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành, từ đó suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

a) Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIANnên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIANcùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

b) Vì hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình lập phương nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình vuông. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN bằng 1 nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vậy 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Luyện tập 4: Cho tứ diện 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.13). Chứng minh rằng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Ta có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 4: Thiết lập quy tắc hình hộp.

Cho hình hộp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.14).

  1. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có bằng nhau hay không?
  2. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có bằng nhau hay không?

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (1)

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình hộp nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Suy ra, tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (2)

Từ (1) và (2) ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Luyện tập 5: Cho hình hộp chữ nhật 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình hộp chữ nhật nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Hoạt động 5: Nhận biết vectơ đối của một vectơ trong không gian.

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

Giải chi tiết:

Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.

Luyện tập 6: Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

  1. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hai vectơ đối nhau;
  2. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

  1. Tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lần lượt là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN) và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành, do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng độ dài và ngược hướng nên1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đối nhau.
  2. Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vận dụng 2: Thang cuốn tại các trung tâm thương mai, siêu thị lớn hay nhà ga, san bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi là có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Giải chi tiết:

Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 6: Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian.

Cho hình lăng trụ tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lần lượt là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.17).

  1. Hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng phương không? Có cùng hướng không?
  2. Giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là đường trung bình của tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.Suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Do đó hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng phương và cùng hướng.

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là đường trung bình của tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Luyện tập 7: Cho hình chóp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có đáy 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành. Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lần lượt là các điểm thuộc các cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sao cho 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (1)

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Luyện tập 8: Trong Ví dụ 8, gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là điểm thuộc đoạn thẳng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sao cho 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.19). Chứng minh rằng:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

  • 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
  • 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
  • 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (đpcm)

Vận dụng 3: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Hãy giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải chi tiết:

Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng hướng. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là một số thực dương nào đó (1).

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900 km/h và 920 km/h.

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 7: Hình thành khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian.

Trong không gian, cho hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN khác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Lấy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và vẽ các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Lấy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN khác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và vẽ các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.21).

  1. Giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN để giải thích vì sao 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

  1. Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN; 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Mà 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN; 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

  1. Áp dụng định lí côsin vào tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Áp dụng định lí côsin vào tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN; 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN; 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vậy 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Luyện tập 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (H.2.25). Tính các góc (1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN) và (1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN).

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là lăng trụ tam giác đều nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật. Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật, suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì tam giác1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là tam giác đều nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 8: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là một số, kí hiệu là1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, được xác định bởi công thức sau:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Luyện tập 10: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là giao điểm của hai đường chéo 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN trong hình vuông 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình vuông cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, độ dài đường chéo 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN =>1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Mà 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là đường trung bình của tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có ba cạnh bằng nhau nên tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là tam giác đều nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình vuông nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có ba cạnh bằng nhau nên tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều, suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Luyện tập 11: Cho hình lập phương 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Gọi cạnh của hình lập phương 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là giao điểm của hai đường chéo 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN của hình vuông 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Suy ra 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Mà 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là đường trung bình của tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Áp dụng định lí Pythagore vào 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (đpcm)

Vận dụng 4: Như đã biết, nếu có một lực 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN tác động vào một vật tại điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN thì công 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sinh ra được tính theo công thức 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, trong đó lực 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN tính bằng mét và công 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết:

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì lực 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lớn nhất khi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lớn nhất. Do đó 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 2.1 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong không gian, cho ba vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN phân biệt và đều khác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

  1. Nếu 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều cùng hướng với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN thì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng.
  2. Nếu 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều ngược hướng với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN thì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng.
  3. Nếu 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều cùng hướng với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN thì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ngược hướng.
  4. Nếu 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đều ngược hướng với 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN thì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ngược hướng.

Giải chi tiết:

Những câu đúng: a, b.

Giải chi tiết bài 2.2 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp chữ nhật 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Tính độ dài của các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật nên tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Do đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (định lý Pythagore), suy ra: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình chữ nhật nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN vuông tại 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Theo định lí Pythagore ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN => 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết bài 2.3 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt bàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN) phân tác đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN).

  1. Hãy chỉ ra mỗi quan hệ về phương và hướng của các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Giải thích vì sao các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đôi một bằng nhau.

Giải chi tiết:

  1. Các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có cùng phương; các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN đôi một bằng nhau.

Giải chi tiết bài 2.4 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình hộp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng:

  1. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN;
  2. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN;
  3. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

  1. Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
  2. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết bài 2.5 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình lăng trụ tam giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN có 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

  1. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN;
  1. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN;
  1. 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
  2. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

  1. Vì 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nên 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Giải chi tiết bài 2.6 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành nếu và chỉ nếu 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Gọi 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là tâm hình bình hành 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là trung điểm của 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Do đó: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Ta có: 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Suy ra, hai vectơ 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN và 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó, tứ giác 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN là hình bình hành.

Giải chi tiết bài 2.7 trang 58 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hình chóp 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Trên cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, lấy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sao cho 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Trên cạnh 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, lấy điểm 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN sao cho 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Chứng minh rằng 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Giải chi tiết:

Ta có:

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN(đpcm)

Đầy đủ Giải toán 12 kết nối tri thức

Tài liệu cùng môn học

Tài liệu khác

Xem thêm nội dung

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT...

CHƯƠNG 2: VECTO VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG 

CHƯƠNG 3: CÁC ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN...

CHƯƠNG 4: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG 6: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆM