1. Khái niệm tích phân

a) Diện tích hình thanh cong

Hình thang cong

Hoạt động 1: Diện tích của hình thang

Kí hiệu là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và hai đường thẳng , () (Hình 4.4)

a) Tính diện tích của khi ;

b) Tính diện tích của khi ;

c) Chứng minh rằng là một nguyên hàm của hàm số , và diện tích .

Giải chi tiết:

a) ⇒ ;

⇒ ;

Ta có độ dài 2 đáy hình thang lần lượt là 2 và 5, chiều cao hình thang là 3.

Vậy diện tích .

b) Từ câu a, ta có công thức của như sau:

Khi , .

Khi , .

Vậy diện tích khi là .

c) Ta có . Vì nên là một nguyên hàm của , .

Hoạt động 2: Diện tích của hình thang cong

b) Định nghĩa tích phân

Hoạt động 3: Nhận biết khái niệm tích phân

Luyện tập 1: Tính :

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải chi tiết:

a) .

b) .

c) .

d) .

Luyện tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) ;

b) .

Giải chi tiết:

a) Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ AD = 3, đáy lớn BC = 7, và đường cao AB = 2. Do đó:

S_ABCD =

=

b) Tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn (O;2):

Vận dụng 1: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Gọi S(t) là quãng đường ô tô di chuyển được

Ta có: S(t)’ = v(t). Do đó là một nguyên hàm số của

Ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh, khi đó:

20 = – 40t + 20 ⇒ t = 0

Khi ô tô dừng hẳn, tức v = 0 m/s ⇒ 0 = – 40t + 20 ⇒ t = 0,5

Như vậy, từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được:

2. Tính chất của tích phân

Hoạt động 4: Nhận biết tính chất của tích phân

Tính và so sánh:

a) và ;

b) và ;

c) và .

Giải chi tiết:

a)

Vậy =

b)

Vậy =

c)

+

Vậy =

Luyện tập 3: Tính các tích phân sau:

a)

b)

Giải chi tiết:

a)

= 4

b) =

Luyện tập 4: Tính:

Giải chi tiết:

= +

= [

Vận dụng 2:

Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số:

T(t) = 20 + 1,5(t 6), 6 ≤ t ≤ 12.

Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Giải chi tiết:

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:

= 24,5 °C

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 4.8 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) ;

b) .

Giải chi tiết:

a) Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ AD = 3, đáy lớn BC = 5, và đường cao AB = 1. Do đó:

S_ABCD =

=

b) Tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn (O;3):

Giải chi tiết bài 4.9 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

Cho và . Tính:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải chi tiết:

a)

b)

c)

d)

Giải chi tiết bài 4.10 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải chi tiết:

a)

b)

c)

=

d)

=

Giải chi tiết bài 4.11 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm (giây) là (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian , tức là tính .

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính .

Giải chi tiết:

a) .

Vậy trong khoảng thời gian vật dịch chuyển 4,5 (m).

b)

.

Vậy tổng quãng đường vật đi được là 10,17 (m).

Giải chi tiết bài 4.12 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức

Ở đây là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.

Giải chi tiết:

a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm là:

b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm là:

Giải chi tiết bài 4.13 trang 18 sách toán 12 tập 2 kntt

Giả sử vận tốc của dòng máu ở khoảng cách từ tâm của động mạch bán kính không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức

Trong đó là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với ) của động mạch trong khoảng . So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Giải chi tiết:

Vận tốc lớn nhất khi r = 0, khi đó: v _max

Vận tốc trung bình là:

v_TB

=

Vậy v_TB = v _max