1. Phương trình mặt cầu

Hoạt động 1. Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kinh

Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi toạ độ của nó thỏa mãn điều kiện gì?

Giải chi tiết:

Điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi:

Hay

Luyện tập 1.

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

a) Xác định tâm và bán kính của .

b) Hỏi điểm nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Giải chi tiết:

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu dưới dạng:

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

b) Ta có: . Do đó, điểm nằm ngoài mặt cầu .

Luyện tập 2.

Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính .

b) Đường kính , với .

Giải chi tiết:

a) Mặt cầu có tâm là gốc toạ độ và có bán kính nên có phương trình:

hay

b) Đoạn thẳng có trung điểm

Mặt cầu có tâm và bán kính

Do đó

Luyện tập 3.

Trong không gian , cho là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình:

Chứng minh rằng là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Giải chi tiết:

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

Hay

Vậy là mặt cầu có tâm và có bán kính

Luyện tập 4.

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

Xác định tâm, tính bán kính của

Giải chi tiết:

Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Luyện tập 5.

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

Giải chi tiết:

Do là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên

Ta có: hay

Suy ra

Do đó

Vì thuộc mặt đất nên

Do đó

Suy ra

Mặt khác, đường tròn tâm , đi qua có bán kính 1 và chu vi là , nên cung nhỏ của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng

Do 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí xấp xỉ bằng

Trải nghiệm.

Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí đến vị trí và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 5.25 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình .

Xác định tâm và bán kính của

Giải chi tiết:

Ta viết lại phương trình của mặt cầu dưới dạng:

.

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Giải chi tiết bài 5.26 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính

Giải chi tiết:

Mặt cầu có tâm và bán kính nên có phương trình:

Giải chi tiết bài 5.27 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , viết phương trình của mặt cầu có tâm và có bán kính bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Do đó mặt cầu có bán kính

Mặt cầu có tâm và bán kính nên có phương trình:

Giải chi tiết bài 5.28 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , cho mặt cầu

Xác định tâm, tính bán kính của .

Giải chi tiết:

Ta viết lại phương trình của mặt cầu dưới dạng:

Hay

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Giải chi tiết bài 5.29 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a)

b)

c)

d)

Giải chi tiết:

a) Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .

c) Phương trình đã cho có bậc của x, y, z là 3 nên đây không phải là phương trình của một mặt cầu.

d) Phương trình đã cho tương ứng với . Trong trường hợp này, . Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Giải chi tiết bài 5.30 trang 59 sách toán 12 tập 2 kntt

Trong không gian , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Giải chi tiết:

Ta có: . Do đó, điểm nằm ngoài đường tròn tâm bán kính 1

Vậy vị trí nằm ngoài vùng phủ sóng của thiết bị nói trên