CHƯƠNG 3. TỨ GIÁC

BÀI 12: HÌNH BÌNH HÀNH

1. HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

Khái niệm hình bình hành

Hoạt động 1:

Hình 3.28 c) là hình bình hành, vì có hai hai cặp cạnh đối song song với nhau:

AB // CD; AD // BC.

Định nghĩa:

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1: (SGK – tr.57).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.58).

Thực hành 1

Mô tả: Vẽ cạnh , vẽ cạnh sao cho . Từ kẻ tia . Từ kẻ tia . Hai tia cắt nhau tại .

Ta được hình hình hành .

Tính chất của hình bình hành

Hoạt động 2:

Hình vẽ:

- Các góc đối bằng nhau.

- Các cạnh đối song song và bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hoạt động 3:

Ta có ABCD là hình bình hành.

a) Xét và có:

+ AC chung

+ (so le trong)

+ (so le trong)

=> = (g.c.g)

=> AB = CD; AD = BC; .

b) Xét và có:

+ BD chung

+ AB = CD (theo câu a)

+ (so le trong)

=> = (c.g.c).

=> .

c) Xét và có:

+ AB = CD (theo câu a)

+ (hai góc đối đỉnh)

+ (so le trong)

=> = (g.c.g).

=> OA = OC; OB = OD.

Định lí 1

Trong hình bình hành có:

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét

Ta có: (định lí 1)

=> .

Mà

=> .

Luyện tập 1

Xét tứ giác ANMP ta có:

+ AN // MP (gt)

+ AP // PM (gt)

Suy ra ANMP là hình bình hành.

Có: AM và PN là hai đường chéo của hình bình hành ANMP, I là trung điểm của PN, suy ra I cũng là trung điểm của AM.

Tranh luận

- Vuông đúng. Vì:

Ví dụ, Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không là hình thang cân vì không có hai góc bằng nhau kề cạnh nào cả.

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.

- Nếu một tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó có là một hình bình hành.

Định lí 2:

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

a)

b)

Ví dụ 2: (SGK – tr.59).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.59, 60).

Luyện tập 2

a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: .

Mà DE và BF là tia phân giác của và . Nên ta có:

(1)

+ Xét và có:

(chứng minh phần a)

AD = BC (ABCD là hình bình hành).

(ABCD là hình bình hành)

=> = (g.c.g).

=>

b)

Ta có: ED = BF (vì = cmt)

(cùng bằng )

=>

=> tứ giác DEBF là hình bình hành.

Thực hành 2

Theo định lí 2a: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

Vì sợi xích có đoạn dài ngắn xen kẽ nhau, hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau nên tứ giác đó chính là hình bình hành.

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH THEO GÓC VÀ ĐƯỜNG CHÉO

Định lí 3:

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Câu hỏi

a)

b)

- Minh họa:

Ví dụ 3: (SGK – tr.60).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.60).

Luyện tập 3.

Giải:

Xét tứ giác ABA'B' ta có: AA' và BB' là hai đường chéo của tứ giác; O là trung điểm của mỗi đường, suy ra ABA'B' là hình bình hành (định lí 3b).

Từ đó suy ra A'B' = AB và A'B' // AB (định lí 1a).

Vận dụng

- Gọi C là giao điểm của a và b. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm của đoạn CD.

- Từ D vẽ đường thẳng song song với b, cắt a tại A và đường thẳng song song với a, cắt b tại B.

- Ta có CD và AB là hai đường chéo của hình bình hành CADB, chúng cắt nhua tại O nên OA = OB.

Hình minh họa: