GA tích hợp NLS và AI Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

Giáo án năng lực số và AI Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm được biên soạn theo định hướng phát triển phẩm chất – năng lực. Nội dung có tích hợp NLS và AI giúp HS rèn luyện khả năng ứng dụng công nghệ, thao tác số ngay trong tiết học. Tài liệu ở dạng file Word, dễ chỉnh sửa – dễ tải về, phù hợp cho GV sử dụng từ năm học 2026.

Nội dung chi tiết

Ngày soạn: .../.../...

Ngày dạy: .../.../...

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 11: NGUYÊN HÀM

I. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức:

Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.
Vận dụng được khái niệm nguyên hàm vào giải quyết một số bài toán từ thực tiễn.

2. Năng lực

- Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

- Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích, lập luận trong quá trình hình thành khái niệm nguyên hàm, tính chất và tìm nguyên hàm của một số hàm.
Mô hình hóa toán học: Mô tả được các dữ liệu, sử dụng nguyên hàm giải quyết một số bài toán thực tiễn.
Giải quyết vấn đề toán học: Tìm nguyên hàm của một số hàm thường gặp, giải quyết bài toán thực tế liên quan đến nguyên hàm.
Giao tiếp toán học.
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

- Năng lực số:

5.3.NC1a: Sử dụng phần mềm toán học (GeoGebra, Desmos) để vẽ đồ thị, trực quan hóa họ các nguyên hàm (sự tịnh tiến của đồ thị).
1.1.NC1b: Sử dụng các công cụ tính toán trực tuyến (WolframAlpha, Symbolab, Photomath) để kiểm tra, đối chiếu kết quả tính nguyên hàm thủ công.
2.1.NC1a: Tương tác tích cực trên các nền tảng học tập trực tuyến (Quizizz/Kahoot) để ôn tập công thức.

Năng lực AI:

12.C3.2: Một số hệ thống AI thử nghiệm ( HS thử nghiệm công cụ AI để đề xuất, giải thích và kiểm tra nguyên hàm của một số hàm số; đối chiếu kết quả với GeoGebra và phép tính thủ công).
12.C3.3: Tùy chỉnh và tối ưu hệ thống AI ( HS đánh giá và điều chỉnh yêu cầu để AI trình bày đầy đủ họ nguyên hàm, hằng số , điều kiện xác định và bước kiểm tra bằng đạo hàm).

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV:

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.
Đồ dùng dạy học.
Hệ thống trắc nghiệm trên Quizizz/website kenhhoctap.edu.vn.
Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

2. Đối với HS:

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.
Đồ dùng học tập (bút, thước...).
Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
Điện thoại thông minh (Smartphone) có kết nối Internet (để tham gia hoạt động tương tác).

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

TIẾT 1: NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.

- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Ta cần tìm quãng đường S(t) mà máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng Như vậy, ta cần tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số đã cho. Bài toán này dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm nguyên hàm.

- GV yêu cầu HS: Mở phần mềm GeoGebra, vẽ đồ thị hàm vận tốc . Yêu cầu HS dự đoán hình dạng của đồ thị quãng đường s(t).

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

- HS quan sát màn hình GeoGebra.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: Chương này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu khái niệm, tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân cũng như ứng dụng để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể. Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về nguyên hàm – Bài 11: Nguyên hàm.

[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.

5.3.NC1a: Sử dụng phần mềm mô phỏng (GeoGebra) để trực quan hóa mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó.]

2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Nguyên hàm của một hàm số

a) Mục tiêu: Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động HĐ 1, 2, Luyện tập 1, 2, ví dụ 1, 2.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS nhận biết được nguyên hàm của một số hàm số.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS/AI

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1.

- GV giới thiệu về đẳng thức .

Khi đó được gọi là một nguyên hàm của hàm số .

- Từ đó giới thiệu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

Nhấn mạnh: với mọi thuộc

- GV đặt câu hỏi:

Nếu thì được hiểu như thế nào?

Ta có chú ý. Nhấn mạnh: sự khác biệt giữa đẳng thức với mọi thuộc là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn.

- GV hướng dẫn Ví dụ 1: Lưu ý HS thực hiện lần lượt tính đạo hàm của các hàm số đã cho.

+ Yêu cầu HS đối chiếu định nghĩa nguyên hàm để kết luận và giải thích được cho kết luận đưa ra.

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương tự. Tính đạo hàm .

Nhận biết nguyên hàm của

- HS thực hiện HĐ 2.

- Từ đó GV cho HS thấy tập hợp các nguyên hàm của hàm số đã cho có dạng , với C là hằng số và là một nguyên hàm nào đó của

- GV giới thiệu khái niệm họ nguyên hàm, kí hiệu.

Làm rõ: kí hiệu nguyên hàm phải có thể hiện tìm nguyên hàm theo biến

- GV chú ý cho HS. Nhấn mạnh:

+ Cách tìm họ nguyên hàm.

+ Sự tồn tại của nguyên hàm trên một khoảng.

- HS quan sát Ví dụ 2: Khi tìm được một nguyên hàm của thì làm thế nào để tìm được họ nguyên hàm của nó?

- HS làm tương tự với Luyện tập 2.

- GV nêu nhiệm vụ: Trên điện thoại/máy tính bảng, mở ứng dụng GeoGebra Graphing Calculator.

+ Nhập hàm f(x) = cos x.

+ Nhập lệnh: Integral(cos(x)) hoặc NguyênHàm(cos(x)) (tùy ngôn ngữ).

+ Quan sát đồ thị kết quả và nhận xét về mối quan hệ giữa đồ thị này và đồ thị hàm sin x.

- GV yêu cầu HS thử nghiệm công cụ AI để tạo một số nguyên hàm của ứng với các giá trị khác nhau của hằng số . Học sinh nhập các hàm thu được vào GeoGebra, quan sát sự tịnh tiến theo phương thẳng đứng và đối chiếu với kết luận về họ nguyên hàm.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- HS thao tác trên app.

- Nhận thấy đồ thị kết quả trùng khít hoặc song song (dịch chuyển dọc) với đồ thị sin x.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- HS phát biểu: Nguyên hàm của cos x là sin x + C. Các đồ thị của nguyên hàm là các đường cong song song theo trục tung.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Nguyên hàm của một hàm số

HĐ 1:

a) Ta có .
b) Ta có .

Kết luận

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Chú ý:

Trường hợp thì các đẳng thức và được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm và đạo hàm bên trái tại điểm của hàm số , tức là

Ví dụ 1 (SGK -tr.5)

Luyện tập 1

Ta có , .

Vậy là một nguyên hàm của trên khoảng

Hàm số không là nguyên hàm của trên khoảng .

HĐ 2:

a) Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì nên hàm số (với là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số trên .

Kết luận

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của trên . Khi đó:
a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên ;
b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bới .

Chú ý:

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số trên , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của trên và khi đó

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số liên tục trên khoảng thì có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Ví dụ 2 (SGK -tr.6)

Luyện tập 2

Vì nên là một nguyên hàm của hàm số trên .
Do đó, .

- 1.1.NC1.a: Thao tác nhập dữ liệu và lệnh tính toán trên ứng dụng toán học chuyên dụng.

- 5.3.NC1.a: Sử dụng công cụ số để nhận diện tính chất hình học (sự tịnh tiến) của họ nguyên hàm.

- 12.C3.2: Thử nghiệm và đánh giá khả năng hỗ trợ trực quan hóa họ nguyên hàm của công cụ AI.

TIẾT 2: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Hoạt động 2: Tính chất cơ bản của nguyên hàm

a) Mục tiêu:

Nhận biết được tính chất cơ bản của nguyên hàm của một hàm số.
Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động HĐ 3, luyện tập 3, 4, ví dụ 3, 4, 5; vận dụng.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một số hàm số.

d) Tổ chức thực hiện: