BÀI 22. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. NHẬN BIẾT (7 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

Trả lời:

Vì

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là?

Trả lời:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều

Lại có, DA’ song song CB’ nên 60

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào?

Trả lời:

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60.

Trả lời:

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Tính góc (AA’, CD’).

Trả lời:

Vì nên ) = 90.

Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Tính góc (A’C’, BD).

Trả lời:

Tứ giác ACC’A có các cặp cạnh đối bằng nhau nên đó là một hình bình hành. Do đó, .

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Tính góc (AC, DC’).

Trả lời:

Tam giác AB’C có ba cạnh bằng nhau (vì các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên đó là một tam giác đều.

Từ đó,

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng DI và AB.

Trả lời:

Đặt cạnh của tứ diện có độ dài là a.

Gọi J là trung điểm AC.

Ta có IJ//AB

Kẻ IJ (H

Ta có:

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc tạo bởi hai đường thẳng BD và CD’.

Trả lời:

Do BA’//CD’ nên góc giữa BD và CD’ là góc giữa BD và BA’

Mà

Vậy góc giữa BD và CD’ là 60.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết AB=CD=2a và MN=a. Xác định góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của AC ta có: IM=IN=a

Áp dụng định lí côsin trong

Suy ra

Vậy:

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’.

Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.

Trả lời:

Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên MN//AC

Lại có AC = , CP=

AP =

Do đó cos

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, BC. Tính số đo góc hợp bởi IJ và SB.

Trả lời:

Gọi M là trung điểm AB thì MI, MJ lần lượt là đường trung bình của tam giác ASB và ABC.

Ta có

Mặt khác JA=JS=

Khi đó IJ =

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE,JE) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có IF là đường trung bình của

Lại có JE là đường trung bình của

Mặt khác . Mà AB = CD

Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra (IE, JF) = 90.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC va BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Suy ra

Vì CD//OJ

Xét tam giác IOJ, có

Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = .

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC.

Trả lời:

Theo giả thiết, ta có AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.

Gọi O = . Ta có

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC, ta có

Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy).

Vậy SA ^ SC

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AC = A, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Trả lời:

Gọi P là trung điểm của AB lần lượt là đường trung bình của và

Suy ra

Ta có AC ^ BD hay tam giác vuông tại P

Do đó MN =

Bài 6: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Trả lời:

Ta có

Tương tự ta có MN//CD, NP//AB, QP//CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ^ MQ (do AB ^ CD)

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

4. VẬN DỤNG CAO (3 BÀI)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6, CD = 3, góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có

Tương tự ta có MN//CD, NP//AB, QP//CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có

Ta có

Vậy .

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD, AB = 4, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của (P) với tứ biện bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có

Tương tự ta có MQ//CD, NP//CD, QP//AB

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có (AB, CD) = (MN, MQ) =

Lại có

Vậy

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có

Mặt khác, AB ^ CD

Vì MQ//AB nên

Theo giả thiết MC = x.BC

Vì MN//CD nên

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

Ta có

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.