BÀI 26. KHOẢNG CÁCH

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và Diện tích tam giác bằng . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Kẻ vuông góc với

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH

Dựa vào tam giác vuông ta có

Bài 2: Cho hình chóp trong đó đôi một vuông góc và Khoảng cách giữa hai điểm nhận giá trị nào?

Trả lời:

Do nên

Như vậy

Bài 3: Cho hình chóp có cạnh là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Do đều cạnh nên đường cao

Bài 4: Trong mặt phẳng cho tam giác đều cạnh . Trên tia vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . Khoảng cách từ đến bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm của ; là hình chiếu vuông góc của trên

Ta có và nên

Mà , do đó .

Vậy

Bài 5: Cho tứ diện trong đó, , vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

+ Dựng .

+ , cắt cùng nằm trong .

.

Xét trong vuông tại có là đường cao ta có:

.

+ Ta dễ chứng minh được vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:

.

2. THÔNG HIỂU (10 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

Dựng .

Vì là tam giác đều cạnh và là trung điểm của nên dễ tính được .

Xét vuông tại có là đường cao, ta có:

.

Bài 2: Cho hình chóp đáy là hình chữ nhật. Biết Khoảng cách từ đến bằng?

Trả lời:

nên .

Suy ra Trong kẻ vuông góc tại . Khi đó

.

Bài 3: Hình chóp đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Khoảng cách từ S đến bằng?

Trả lời:

Gọi là chân đường cao của hình chóp.

Ta có

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến nhận giá trị nào?

Trả lời:

Khoảng cách từ đến :

Bài 5: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

Ta có: (Định lý 3 đường vuông góc) .

(vì tam giác BCD đều).

Ta có: .

Bài 6: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh bằng và . Biết . Tính khoảng cách từ đến .

Trả lời:

Kẻ , khi đó .

là hình thoi cạnh bằng và đều nên .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 7: Cho hình chóp có , , là hình vuông cạnh bằng . Gọi là tâm của , tính khoảng cách từ đến .

Trả lời:

Kẻ , khi đó . Ta có: (g-g) nên .

Mà: , .

Vậy .

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Trả lời:

, là tâm của hình vuông .

Kẻ , khi đó , .

Ta có:

Bài 9: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ đến bằng?

Trả lời:

Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên .

Kẻ , khi đó .

Ta có: .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 10: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

Nối . Kẻ

Suy ra

Xét có

Vậy .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách từ đến bằng?
Trả lời:

Ta có:

Nên tứ diện là tứ diện đều.

Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác .

Khi đó ta có:

Vì tam giác đều nên .

Theo tính chất trọng tâm ta có: .

Trong tam giác vuông có: .

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với Mặt bên chứa của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy .

Trả lời:

Gọi là hình chiếu của lên , vì mặt bên vuông góc với nên

Dựng , theo đề bài ta có .

Do đó tam giác (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra .

Lại có

Vậy trùng với trung điểm của . Từ đó ta có là đường trung bình của tam giác nên .

Tam giác vuông tại và có vuông cân.

Do đó: .

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao Khoảng cách từ điểm đến cạnh bên bằng?

Trả lời:

Vì hình chóp đều có là đường cao là tâm của

Gọi là trung điểm cạnh .

Tam giác đều nên .

Kẻ .. Xét tam giác vuông tại :

.

Bài 4: Cho hình lập phương cạnh bằng Gọi là trung điểm của Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi là trung điểm cạnh và

Khi đó ta chứng minh được

suy ra

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính và có cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy với . Khoảng cách từ và đến mặt phẳng lần lượt là?

Trả lời:

.

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp có mặt đáy là hình chữ nhật với Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng?

Trả lời:

Kẻ

góc giữa hai mặt phẳng và

là

Có ,

Có ,

Kẻ , mà

Mà .

Bài 2: Cho hình chóp có mặt đáy là hình thoi cạnh . Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng?

Trả lời:

Xác định khoảng cách:

- Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc nên tam giác đều cạnh

Tam giác vuông ở , có đường cao nên ;

Xét hình chóp có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên .

- Dựng hình chiếu của lên mặt phẳng : Kẻ đường cao của tam giác với O là tâm của hình thoi.

. Vậy

- Tính độ dài

Với ; ;

.

Cách khác: Nhận xét tứ diện có tất cả các cạnh bằng Do đó là tứ diện đều, vậy .

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng?

Trả lời:

+ Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông nên .

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc .Vậy tam giác vuông cân tại .

- Xác định khoảng cách: . Với là chân đường cao của tam giác .

- Tính : .

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh góc giữa hai mặt phẳng bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng tính theo bằng?

Trả lời:

- Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng là .

- Xác định khoảng cách: . Với là đường cao của tam giác với là trung điểm .

- Tính .

Xét tam giác vuông có

.

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác Cạnh bên tạo với mặt phẳng một góc bằng Khoảng cách từ tới mặt phẳng tính theo bằng?

Trả lời:

Đặc điểm hình: Góc giữa tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách

Tính :

. Vậy.