ÔN TẬP CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

(PHẦN 1)

Bài 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Chứng minh rằng u_n=u₄;

Trả lời:

1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u₁=1;u₂=2u₁+3=5;u₃=2u₂+3=13;u₄=29; u₅=61.

2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n = 1 ⇒ u₄=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1

* Giả sử u_k=2^k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2^k+2-3

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

u_k+1=2u_k+3=2(2^k+1-3)=2^k+2-3 (đpcm).

Bài 2: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Nếu là cấp số cộng hãy xác định số hạng đầu tiên và công sai:

a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19.

b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20.

c) Dãy số (a_n), với a_n = 4n – 3.

Trả lời:

a) Ta thấy 1 – (– 2) = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3

Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u₁ = – 2, công sai là d = 3.

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 nhưng 10 – 6 = 4

Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng.

c) Ta có: a_n = 4n – 3 thì a_n+1 = 4(n + 1) – 3.

Xét a_n+1 – a_n = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi)

Vậy dãy số (a_n) với a_n = 4n – 3 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là a₁ = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4

Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a² – bc, y = b² – ca, z = c² – ab.

Trả lời:

a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b² – 2ca

Và x + z = a² + c² - b(a + c)

= (a + c)² – 2ac – 2b²

= 4b² – 2ac – 2b²

= 2b² – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y=(x+z)/2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho cấp số cộng (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 7n – 3. Tính S₁₀₀.

Trả lời:

Từ công thức số hạng tổng quát

Ta có:

Số hạng đầu: u₁ = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u₂ = 7 . 2 – 3 = 11;

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có S₁₀₀=35050

Bài 5: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.

Trả lời:

Ta có

Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số trên là một cấp số nhân với công bội .

Bài 6: Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.

Trả lời:

Ta có

Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

Bài 7: a) Cho dãy số xác định bởi . Xác định bốn số hạng đầu của dãy số .

b) Cho dãy số xác định bởi và . Viết năm số hàng đầu của dãy số.

Trả lời:

a)

b)

Bài 8: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau:

a) b)

Trả lời:

a)

b) 5; 10; 15; 20; 25

Bài 9: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

a) Dãy , với .

b) Dãy , với .

Trả lời:

a) Dãy số là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

b) Ta có (do Vì nên là một dãy số tăng.

Bài 10: Cho dãy số , xác định bởi: . Chứng minh

Trả lời:

Ta có:

Vậy

Bài 11: Cho dãy số xác định bởi và . Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

Trả lời:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:

.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .

Giải phương trình ta được

Bài 12: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

.

Trả lời:

Vì

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai

Bài 13: Cho cấp số cộng có 7 số hạng với số hạng đầu và công sai . Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.

Trả lời:

Ta có

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng là

Bài 14: a) Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

b) Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Tính tổng của số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Trả lời:

a) Ta có .

Ta có hệ phương trình

.

b) Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

.

Bài 15: Cho cấp số cộng thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .

Trả lời:

Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là

Giả sử . Khi đó

Theo giả thiết, ta có .

Bài 16: Cho dãy số thỏa mãn Tìm n có giá trị nguyên dương lớn nhất để

Trả lời:

Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

Suy ra

Do đó

Vậy

Vì nên

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là .

Bài 17: Cho dãy số xác định bởi Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số . Tính giá trị biểu thức

Trả lời:

Dựa vào chu kì của hàm số ta có

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là

Suy ra Do đó

Bài 18: Cho dãy số xác định bởi và Tổng

Trả lời:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra

Do đó

Vậy

Bài 19: Biết rằng tồn tại các giá trị của để ba số lập thành một cấp số cộng, tính tổng các giá trị đó của .

Trả lời:

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

+)

.

+)

Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và ta tìm được nghiệm

Do đó

Bài 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng:

.

Trả lời:

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có . Vì lập thành cấp số cộng nên . Suy ra . Thay vào phương trình đã cho, ta được

- Điều kiện đủ:

+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm.

+ Với , ta có phương trình

Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.