ÔN TẬP CHƯƠNG 7. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 3)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a²; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Trả lời:

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Bài 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD. Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

Trả lời:

Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD.

Từ SA = SC và SB = SD, ta có

Tương tự, từ SA = SC và SB = SD, ta có

Do đó,

Mà

Từ đó suy ra ⊥ (ABCD).

Bài 5: Cho hình chóp thỏa mãn. Tam giác vuông tại. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên. Tìm giao của mặt phẳng (SAH) và mặt phẳng (SCH).

Trả lời:

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60.

Trả lời:

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng DI và AB.

Trả lời:

Đặt cạnh của tứ diện có độ dài là a.

Gọi J là trung điểm AC.

Ta có IJ//AB

Kẻ IJ (H

Ta có:

Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết AB=CD=2a và MN=a. Xác định góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của AC ta có: IM=IN=a

Áp dụng định lí côsin trong

Suy ra

Vậy:

Bài 9: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Gọi là chân đường vuông góc của xuống mặt phẳng đáy ()

Þ các hình chiếu: Þ là tâm đường tròn

Mà tam giác cân tại (vì ) Þ tâm phải nằm trên Þ

Vậy có

nên góc .

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều , có đáy là hình vuông tâm . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng . Gọi là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm . Có ;

. Do đó

Bài 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm . Biết , và đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng . Gọi là góc hợp bởi mặt bên với đáy. Khi đó

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

Khi đó

.

Ta có: .

.

Bài 12: Cho hình chóp có cạnh là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Do đều cạnh nên đường cao

Bài 13: Hình chóp đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Khoảng cách từ S đến bằng?

Trả lời:

Gọi là chân đường cao của hình chóp.

Ta có

Bài 14: Cho hình chóp có và vuông góc với đáy . Biết rằng tam giác đều và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc . Tính thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm ta có

Xét tam giác vuông tại ta có

Ta có

Diện tích

Thể tích

Bài 15: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , tam giác là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

, .

.

Bài 16: Cho hình chóp đều. Thiết diện qua đỉnh và vuông góc với cạnh bên có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính .

Trả lời:

Đặt cạnh đáy hình vuông là .

Giả sử thiết diện qua là cắt , , lần lượt tại , , .

Theo giả thiết .

Mặt khác: (vì ) .

.

(vì ; với ).

.

.

Ta có .

Bài 17: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy bằng a.

Gọi H là tâm của đáy ⊥ (ABC).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) là AH nên

Gọi M là trung điểm của BC

.

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD SO ⊥ (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là OA, nên:

Ta có

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD SO ⊥ (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là OA, nên:

Ta có

Bài 20: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác đều cạnh là điểm trên sao cho là mặt phẳng qua và vuông góc với Thiết diện của và tứ diện có diện tích bằng?

Trả lời:

Gọi là trung điểm của .

Theo bài ra .

Kẻ Thiết diện của và tứ diện là

là hai tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh là tam giác đều cạnh