ÔN TẬP CHƯƠNG 7. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 4)

Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Trả lời:

Vì DC // AB nên DC // (SAB)

⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB))

Kẻ DH ⊥ SA

Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA

⇒ DH ⊥ (SAB)

Nên d(CD; (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Trả lời:

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có:

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC?

Trả lời:

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

+ Ta chứng minh CD ⊥ (SAD) :

Do CD ⊥ AD (vì ABCD là hình chữ nhật), và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ CD ⊥ (SAD)

Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD (1)

+ Lại có: CD ⊥ BC (vì ABCD là hình chữ nhật) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

⇒ d(SD; BC) = CD

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:

AB² = AC² - BC² = 5a² - 2a² = 3a²

⇒ AB = CD = √3a

⇒ d(SD; BC) = CD = √3a

Bài 4: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và . Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có

Vậy

Bài 5: Cho hình chóp có và Số các mặt của tứ diện là tam giác vuông là bao nhiêu?

Trả lời:

Có là tam giác vuông tại

Ta có là các tam giác vuông tại

Mặt khác là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông

Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết và . có vuông góc với hay không?

Trả lời:

Tam giác cân tại có là trung tuyến

cũng là đường cao .

Tam giác cân tại có là trung tuyến

cũng là đường cao .

Từ đó suy ra .

Do là hình thoi nên không vuông góc với . Do đó không vuông góc với .

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’.

Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.

Trả lời:

Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên MN//AC

Lại có AC = , CP=

AP =

Do đó cos

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, BC. Tính số đo góc hợp bởi IJ và SB.

Trả lời:

Gọi M là trung điểm AB thì MI, MJ lần lượt là đường trung bình của tam giác ASB và ABC.

Ta có

Mặt khác JA=JS=

Khi đó IJ =

Trả lời:

Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Ta có của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng?

Trả lời:

Ta có:

Gọi với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì là trung điểm của (vì )

(theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: là góc giữa và

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét vuông tại có: .

Bài 10: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ đến bằng?

Trả lời:

Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên .

Kẻ , khi đó .

Ta có: .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 11: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng?

Trả lời:

Nối . Kẻ

Suy ra

Xét có

.

Bài 12: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với trung điểm cạnh . Biết rằng. Tính theo thể tích của khối chóp .

Trả lời:

Gọi là trung điểm . Ta có:

suy ra .

Nên

.

Bài 13: Cho hình lập phương . Tính góc là góc giữa hai mặt phẳng và .

Trả lời:

là góc giữa hai mặt phẳng và là

Ta có

Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều có. Tính cos góc giữa và .

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều là . Gọi là trung điểm của ta có (vì tam giác đều) và (vì tam giác đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc .

Ta có : (đường chéo hình vuông), (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc trong tam giác ta có :

Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật có ,. Gọi là góc giữa đường chéo và đáy. Tính .

Trả lời:

Từ giả thiết ta suy ra: là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại ta có:

.

Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi là góc giữa AC’ và (A’BCD’. Chọn khẳng định đúng:

Trả lời:

Gọi

là hình chiếu vuông góc của AC’ lên (A’BCD’

là góc giữa AC’ lên (A’BCD’)

Mà

Bài 17: Cho hình chóp đều, đáy có cạnh bằng và có tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của ,. Biết góc giữa và bằng . Tính góc giữa và .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của là đường trung bình của

Góc giữa và bằng góc .

Áp dụng định lý cosin cho ta có:

Trong tam giác vuông ta có :

và .

Gọi là trung điểm .

Mà do đó .

Ta có : , (tính trên)

Vậy trong ta có: . Nên nếu gọi là góc giữa và thì: hay .

Bài 18: Cho hình chóp đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy, . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Trả lời:

Gọi là hình chiếu của lên (vì góc tù nên nằm ngoài ). Ta có: .

Ta có:

.

.

Bài 19: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và . Gọi là trọng tâm . Tính độ dài

Trả lời:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:

Bài 20: Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Tìm vị trí của H.

Trả lời:

Do hình chóp có và nên là trục của hình chóp .

. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .