NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG

CÁC EM HỌC SINH THAM DỰ BUỔI HỌC HÔM NAY

KHỞI ĐỘNG

Cho điểm O cách đường thẳng a là 6 cm. Vẽ đường tròn (O, 10 cm).

1. Chứng minh rằng (O) có hai giao điểm với đường thẳng a.

2. Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính diện tích tam giác OBC.

Gợi ý đáp án

1. Ta thấy và khoảng cách từ đến là .

nên đường thẳng cắt tại 2 điểm phân biệt và

2. Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến .

Suy ra

Xét vuông tại , có:

Xét có nên cân tại , có là đường cao

Suy ra là trung tuyến của suy ra

Diện tích là:

LUYỆN TẬP CHUNG

Tiết 1: Ôn tập lí thuyết.

Chữa ví dụ và các bài tập cuối bài

Ví dụ 1 (SGK – tr.108)

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Gọi là điểm đối xứng với qua , là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng:

a) và ba điểm thẳng hàng

b) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính .

Giải

a) Do tính đối xứng của (O) nên từ A (O)

suy ra M (O) (vì M đối xứng với A qua O).

Tam giác ABM có BO là đường trung tuyến và BO = AM (bán kính bằng nửa đường kính) nên là tam giác vuông tại B. Vậy = 90 .

Tương tự, ta cũng có N (O’) và = 90. Từ hai kết quả trên suy ra:

= + = 90 + 90 = 180.

Điều đó chứng tỏ ba điểm M, B, N thẳng hàng.

b) Kết quả câu a còn cho thấy MN AB, tức là MN vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính AB tại B. Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

5.28 (SGK – tr.109)

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.

a) Hỏi bán kính của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?

b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.

Giải

a)

Đường tròn (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b khi và chỉ khi R > 3 cm.

b)

Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a nên R = 2 < 3.

Do đó (O; R) không cắt đường thẳng b.

5.30 (SGK – tr.110)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy’ tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy’ tại N.

a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Gợi ý

a) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) Gọi K là giao điểm của AN và OQ, áp dụng tính chất đường trung bình cho hai tam giác ABN và AMN.

c) Áp dụng tính chất đường trung bình và câu a suy ra OQ = MN nên O thuộc đường tròn đường kính MN, từ đó ta có AB là tiếp tuyến tại M.

Giải

a)

và là tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .

và là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .

Ta có: .

b) Gọi là giao điểm của và

Ta có: (vì cùng vuông với ) và là trung điểm của .

Suy ra là đường trung bình của

Do đó là trung điểm của

Lại có: (vì cùng vuông góc với ) và là trung điểm của .

Suy ra là đường trung bình của .

Do đó là trung điểm của .

c) là đường trung bình của nên

là đường trung bình của nên

Suy ra

Hay

Do đó thuộc đường tròn đường kính

Mà vuông góc với tại nên là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

PHIẾU CỦNG CỐ KIẾN THỨC 1

a) Điền thông tin phù hợp vào chỗ trống

Cho đường thẳng và đường tròn , gọi là khoảng cách từ đến . Khi đó:

cắt

=

b) Chọn thông tin phù hợp trong các thông tin sau để điền vào chỗ trống:

Hai điểm Một điểm Song song

Vuông góc Đi qua điểm đó Bất kì

Nếu một đường thẳng đi qua ……………… điểm nằm trên một đường tròn và ………………… với bán kính ………………….. thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

một điểm

vuông góc

đi qua điểm đó

c) Cho đường tròn , hai tiếp tuyến tại hai tiếp điểm và cắt nhau tại M. Đâu là thông tin có trong định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn?

i. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

ii. MO là phân giác của góc

iii. MA = MB

iv. MO vuông góc với AB

v. OM là tia phân giác của góc

LUYỆN TẬP CHUNG

Tiết 2: Ôn tập lí thuyết (tiếp theo).

Chữa các bài tập cuối bài

Ví dụ 2 (SGK – tr.108)

Cho hai đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O’; R’) với giả thiết R > R'. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O; R) tại A và tiếp xúc với (O’; R’) tại B sao cho O và O’ nằm cùng phía đối với d. Giả sử d cắt đường thẳng OO’ tại điểm P (Hình 5.39).

a) Chứng minh rằng

b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua OO'. Chứng minh rằng đường thẳng PA’ tiếp xúc với (O) và với (O’).

Giải

a)

Do d tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B nên OA d và O’B d.

Do đó, trong tam giác POA ta có O’B // OA, suy ra POA PO’B.

Từ đó, ta có = = .

b) Do A’ đối xứng với A qua OO’ và A (O) nên A’ (O) và OO’ AA’, tức là OP AA’.

Tam giác OAA’ là tam giác cân (do OA = OA’) có OP AA’ nên OP là tia phân giác của góc AOA’, suy ra = .

Hai tam giác AOP và A’OP có: OA = OA’ (bán kính đường tròn (O)); OP chung và = . Vậy AOP A’OP (c.g.c), suy ra = mà = 90 (do PA tiếp xúc với (O)) nên = 90

Vậy PA’ vuông góc với bán kính OA’ của (O) tại A’. Điều đó chứng tỏ PA’ tiếp xúc với (O) tại A’.

Đối với đường tròn (O’), gọi B’ là chân đường vuông góc hạ từ O’ xuống PA’. Để khẳng định rằng PA’ cũng tiếp xúc với (O’) tại B’, ta chỉ cần chứng minh B (O’).

Thật vậy, O’B’ và OA’ cùng vuông góc với PA’ nên O’B’ // OA’, suy ra POA’ PO’B’.

Do đó =

Mà theo câu a ta có = nên = , hay =

Điều này chứng tỏ O’B’ = R’, nghĩa là B’ (O’).

Vậy PA’ tiếp xúc với (O) tại A’ và tiếp xúc với (O’) tại B’.

5.29 (SGK – tr.110)

--------------- Còn tiếp ---------------