ÔN TẬP CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

(PHẦN 2)

Bài 1: Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 và số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này

Trả lời:
Ta có u₁ = 3; u₈ = 24, n = 8. S₈= 8/2(3+24) = 108

Bài 2: Cho 4 số lập phương thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng bao nhiêu?

Trả lời:
Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 1³+4³+7³+10³=1408

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (d) của hàm số y= 4x-5. Với mỗi số nguyên dương, gọi A_n là giao điểm của(d) và đường thẳng x=n. Xét dãy số (u_n) với u_n là tung độ của điểm A_n. Tính u₁+...+u₁₅.

Trả lời:
Dễ thấy u_n = 4n -5

Ta có: u_n+1 = 4(n + 1) - 5 = 4n - 1

⇒ u_n+1=u_n+4 với n ≥ 1 ⇒ (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 4

Bài 4: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau

a) Dãy số , với ;

b) Dãy số , với ;

Trả lời:
a) Ta có nên

Do đó là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

b) Ta có nên

Suy ra là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

Bài 5: Cho cấp số cộng có và .

a) Tìm .

b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Trả lời:
a) Ta có

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

Vì nên

Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.

Bài 6: Cho cấp số cộng có và .

a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Biết , tìm .

Trả lời:
Ta có

a) Ta có

.

b) Vì nên

.

Bài 7: Cho hai cấp số cộng (u_n): 4,7,10,13,16,...và (v_n):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

Trả lời:
Ta có: u_n = 4+(n-1).3 = 3n+1, 1 ≤ n ≤ 100

v_n = 1+ (k-1).5 = 5k -4, 1 ≤ k ≤ 100

Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có:

3n +1 =5k -4 ⇔ 3n = 5(k-1) ⇒ n⋮5 tức là n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z

Vì 1 ≤ n ≤ 100 nên 1 ≤ t ≤ 20. Có 20 số hạng chung của hai dãy

Bài 8: Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Độ cao của tầng hai so với mặt sân là bao nhiêu?

Trả lời:
Độ cao tầng hai so với mặt sàn là h = (0,5+ 0,18n) (m) với n = 21. Vậy ta có độ cao tầng 2 bằng 4,28m

Bài 9: Cho dãy số với . Tìm a để dãy số là dãy tăng.

Trả lời:
Ta có Xét hiệu

là dãy tăng khi và chỉ khi

Bài 10: Xét tính bị chặn của dãy số

a) Dãy , với

b) Dãy , với .

c) Dãy , với .

Trả lời:
a) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi

b) Dãy số có nên dãy số là dãy số bị chặn.

c) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi

Bài 11: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

Trả lời:
Đặt khi đó .

Từ hệ thức truy hồi suy ra .

Như vậy ta có .

Ta có ; .

Nhận thấy , suy ra .

(Có thể chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp).

Vậy số hạng tổng quát

Bài 12: Cho cấp số nhân có và

a) Tìm .

b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?

Trả lời:
a) Ta có

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Vì nên

Bài 13: a) Cho cấp số cộng có . Tính .

b) Cho cấp số cộng có . Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Trả lời:
a) Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

Suy ra .

b) Ta có và . Suy ra

Vậy .

Bài 14: Cho cấp số cộng thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .

Trả lời:
Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là

Giả sử . Khi đó

Theo giả thiết, ta có .

Bài 15: Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

Trả lời:
Gọi là giá của mét khoan thứ , trong đó

Theo giả thiết, ta có và với .

Ta có là cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

Bài 16: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

Trả lời:
Kí hiệu là mức lương của quý thứ làm việc cho công ty. Khi đó và .

Dãy số lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là (triệu đồng).

Bài 17: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

Trả lời:
Đặt . Khi đó ta có phương trình: .

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có nghiệm dương phân biệt

(do tổng hai nghiệm bằng nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì có hai nghiệm dương phân biệt là .

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: .

Suy ra ta có hệ phương trình

.

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Bài 18: Xét tính bị chặn của dãy số

a) Dãy , với .

b) Dãy , với .

Trả lời:
a) Dãy số là dãy số giảm và nhỏ tùy ý khi đủ lớn.

b) Dãy số là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi

Bài 19: a) Xét tính bị chặn của dãy số , với

b) Xét tính bị chặn của dãy số , với .

Trả lời:
a. Ta có nên là một dãy số tăng.

Suy ra nó bị chặn dưới bởi .

Lại do nên dãy số bị chặn trên bởi 1.

Vậy dãy bị chặn.

b) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì

Bài 20: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Dãy nào không phải cấp số nhân? Giải thích?

a) Dãy số , với b) Dãy số , với

c) Dãy số , với d) Dãy số , với

Trả lời:
\a) Ba số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 9. Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.

b) Ta có nên (là số không đổi). Do đó, phải là cấp số nhân với công bội .

c) Ta có nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).

Do đó không phải là một cấp số nhân.

d) Ba số hạng đầu của dãy số là Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.