BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Trả lời:

Ta có

.

Câu 2:

a) Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M và cắt cả a và b?

b) Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

Trả lời:

a) Mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A. Khi đó đường thẳng duy nhất cần tìm là đường thẳng qua 3 điểm M, A, B .

b) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B , mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cần tìm.

Câu 3:

a) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến trong đó song song với . Khi đó vị trí tương đối của và là gì?

b) Trong không gian, cho đường thẳng và điểm O không nằm trong . Qua O có mấy đường thẳng song song với ?

Trả lời:

a) Giả sử d₁ cắt d₂ tại M khi đó đường thẳng d₃ không nằm trong mặt phẳng (d₁; d₂) và cắt cả d₁ và d₂ nên d_3­ cắt mặt phẳng (d₁; d₂) tại M hay ba đường thẳng đó đồng quy.

b) Qua O không thuộc đường thẳng thì có duy nhất một đường thẳng song song với .

Câu 4:

a) Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Có thể có bao nhiêu đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

b) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy điểm A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khi đó hai đường thẳng AD và BC có vị trí như thế nào với nhau?

Trả lời:

a) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại 4 khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a,b,c . Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cắt 3 đường thẳng đã cho.

b) Do a,b chéo nhau nên A,B,C,D là 4 đỉnh của 1 tứ diện do đó AD và BC chéo nhau.

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Trả lời:

Ta có là hình thang và là trung điểm của nên .

Vậy

với .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và và .

b) Lấy thuộc . Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?

Trả lời:

a) Trong dựng đường thằng đi qua và song song với .

Ta có: .

Suy ra thuộc .

Nên là giao tuyến của và .

Tương tự, trong dựng đường thẳng đi qua , song song với thì là giao tuyến của với .

b) Giả sử

Xét ba mặt phẳng lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mà là hình thang.

Câu 2: Cho hình chóp đáy là hình thang ( là đáy lớn). Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Tìm giao tuyến và và .

b) Tìm giao điểm của và .

c) Tìm giao điểm của và .

d) Tứ giác IPKJ là hình gì?

Trả lời:

a) Do giao tuyến của và đi qua điểm và song song với và .

Giả sử với .

Ba mặt phẳng và lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là và nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

b) Do mà là trung điểm của . Khi đó là đường trung bình trong tam giác suy ra không cắt .

c) Chứng minh ở câu b, ta có trùng với tức là là trung điểm .

d) Có (chứng minh trên) suy ra tứ giác là hình thang.

Câu 3: Cho hình chóp , đáy là bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của , .

a) Tìm giao tuyến của và .

b) Tìm giao điểm của và .

c) Tìm giao điểm của và .

d) Tìm giao tuyến của và

Trả lời:

a) Do (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến của và phải là .

Do đó qua và song song với nên là đường trung bình tam giác . Gọi là trung điểm thì là giao tuyến cần tìm.

b) Ta có

Suy ra là giao điểm của và .

c) Trong , gọi là giao điểm của và .

Ta có

Vậy là giao điểm của với .

d) Gọi là giao điểm của và .

Trong có là đường trung bình tam giác .

Gọi

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là các điểm lần lượt nằm trên sao cho

a) Chứng minh .

b) Gọi . Chứng minh .

c) Qua dựng các đường thẳng . Tìm và .

Trả lời:

a) Ta có:

Tương tự ta có và

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Hai mặt phẳng và có 2 điểm chung là và nên

Mặt khác 3 mặt phẳng và đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là

mà nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay .

c) Trong mặt phẳng , gọi

Trong mặt phẳng dựng cắt tại thì .

Tương tự trong mặt phẳng dựng cắt tại thì .

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, gọi lần lượt nằm trên , sao cho .

a) Chứng minh rằng: .

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: .

Trả lời:

a) Ta có:

Lại có: (2). (Định lý Ta-let)

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Xét 3 mặt phẳng và cắt nhau theo các giao tuyến là .

Suy ra song song hoặc đồng quy.

Mặt khác .

Câu 6: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Chứng minh là hình bình hành.

b) Từ đó suy ra ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Trả lời:

a) Vì là đường trung bình của tam giác nên ta có

Tương tự ta cũng có:

Do vậy là hình bình hành từ đó suy ra và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có suy ra và cũng cắt nhau tại trung điểm của .

Vậy ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Câu 7: Cho hình chóp , có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh:

b) Tìm giao điểm của với . Kéo dài và cắt nhau tại .

Chứng minh . Tứ giác là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên mặt khác .

b) Gọi và khi đó cắt tại .

Xét 3 mặt phẳng và có các giao tuyến chung là và song song hoặc đồng quy.

Do nên .

Ta có:

Khi đó: là hình bình hành.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .

a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và ).

b) Bốn điểm đồng phẳng.

Trả lời:

a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác .

Vậy .

Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .

Vậy minh đồng quy.

b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra đồng phẳng.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh:

a) Bốn điểm đồng phẳng.

b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ).

Trả lời:

a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

Ta có

.

Tương tự

Lại có

Từ và suy ra .

Vậy bốn điểm đồng phẳng.

b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .

Xét ba mặt phẳng và ta có :

.

Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng quy.

Câu 3: Cho tứ diện đều , cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của , gọi là một điểm trên cạnh với .

a) Xác định giao tuyển của với mặt phẳng . Hình tạo bởi các đường giao tuyển của các mặt của tứ diện với mặt phẳng là hình gì?

b) Tính diện tích của hình xác định được ở câu a.

Trả lời:

a) Do là đường trung bình của tam giác nên và

Do nên giao tuyến của với mặt phẳng song song với

Qua dựng với thì giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng KN.

+) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt là tứ giác có là hình thang.

b) Ta có

Lại có ,

tương tự

Chiều cao của hình thang cân IJKN là

Diện tích tứ giác là .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .

a) Chứng minh song sonng với .

b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .

Trả lời:

a) Ta có .

Vậy

Tương tự

Vậy

Từ và suy ra .

b) Ta có ;

Do đó . Mà .

Tính : Gọi

Ta có ,

Mà .

Từ suy ra

Tương tự . Vậy .

Câu 2: Cho hình chóp là một điểm nằm trong tam giác . Qua dựng các đường thẳng lần lượt song song với và cắt các mặt phẳng theo thứ tự tại các điểm .

a) Chứng minh tổng có giá tri không đổi khi di động bên trong tam giác .

b) Xác định vị trí của để tích có giá trị lớn nhất.

Trả lời:

a) Gọi

Trong mặt phẳng , dựng cắt tại

Tương tự dựng cắt tại , dựng cắt tại .

Ta có: định lý Talet

Tương tự và

Khi đó

Vậy có giá trị không đổi khi di động bên trong tam giác .

b) Ta có

Do đó có giá trị lớn nhất là khi

Suy ra suy ra là trọng tâm tam giác .