BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .

Trả lời:

Gọi H’ là trung điểm của AB thì ta có:

Do đó

Câu 2: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong tam giác .

Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình trong .

Ta có: .

b) Do và lần lượt là trung điểm của và nên .

Lại có .

Do vậy .

Câu 3: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi là trung điểm của là một điểm trên và cách đều . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có và lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình trong

Tương tự là đường trung bình trong tam giác nên .

Lại có: .

b) Ta có và lần lượt là trung điểm của và thì là đường thẳng cách đều và do vậy điểm , Do là đường trung bình của nên .

Ta có:

Mặt khác .

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. Chứng minh rằng .

Trả lời:

Áp dụng tính chất đường trung bình: MN // AB, MP // AC.

Vậy .

Câu 5:

Cho hình chóp có đáylà hình bình hành tâm , gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh

Trả lời:

Ta có lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh do đó .

Vậy .

Tương tự, Ta có lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh do đó .

Vậy

Từ và ta có .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .

c) Gọi là giao điểm của và là điểm thuộc sao cho . Chứng minh .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong

Suy ra .

Tương tự ta có .

(hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau). b) Ta có: .

Lại có .

c) Do

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác: .

Do suy ra .

Câu 2: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi là trọng tâm của . Chứng minh rằng .
d) Gọi là trung điểm , chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra .

Lại có: là đường trung bình trong tam giác nên .

Do vậy .

b) Trong mặt phẳng gọi khi đó chính là giao điểm của và .

c) Dễ thấy lần lượt là trọng tâm tam giác do đó

.

d) Do và lần lượt là trung điểm của và nên (tính chất đường trung bình).

Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên .

Do vậy .

Câu 3: Cho hai hình vuông và ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo và lần lượt lấy các điểm sao cho . Các đường thẳng song song với vẽ từ lần lượt cắt và tại và . Chứng minh:

a) .

b) .

Trả lời:

a) Ta có

Tương tự .

Mà .

b) Vì và là các hìnhvuông nên .

Ta có

Từ , và ta được

.

Lại có .

Vậy .

Câu 4: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và , lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến và .
b) Tìm giao điểm và .
c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt bên của hình chóp và mặt phẳng (MNP) là hình gì?
d) Gọi . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Do song song với nên giao tuyến của và là đường thẳng đi qua và song song với và .

b) Trong măt phẳng , kéo dài cắt tại , trong mặt phẳng , kéo dài cắt tại , giao điểm của và là .

c) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác .

Do 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến là nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác là hình thang.

d) Ta có: là đường trung bình trong tam giác .

Tương tự ta có: .

Mặt khác .

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình của hình bình hành nên .

Lại có là đường trung bình tam giác .

Từ và suy ra .

b) Gọi là trung điểm của thì .

Mặt khác là đường trung bình của tam giác nên .

Ta có .

c) Trong mặt phẳng gọi .

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng và song song với .

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song Với .

d) Gọi là trung điểm của thì (tính chất đường trung bình)

Suy ra đồng phẳng.

Trong mặt phẳng gọi .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là .

Câu 6: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến và .
c) Tìm giao tuyến của và . Suy ra giao điểm của và . d) Gọi . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong tam giác nên .

Tương tự là đường trung bình trong tam giác nên .

Do vậy .

b) Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với và .

c) Gọi .

Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với .

Trong mặt phẳng gọi .

d) Ta có: do đó lần lượt là trọng tâm tam giác và

Khi đó .

Câu 7: Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều. Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng đi qua và song song với lần lượt cắt các cạnh tại . Tìm dể diện tích bằng .

Trả lời:

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác

Suy ra và tứ giác là hình thang cân. Chiều cao hình thang cân này là

Diện tích hình thang là

.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tứ diện và là các điểm thay trên các cạnh sao cho .

a) Chứng minh luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Cho và là một điểm trên cạnh . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt phẳng .

c) Tính theo tỉ số diện tích tam giác và diện tích hình tạo bởi các giao tuyến ở câu b.

Trả lời:

a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng .Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với thì cố định và suy ra luôn song song với cố định.

b) Xét trường hợp , lúc này nên .

Ta có:

.

Thiết diện là tứ giác .Xét trường hợp

Trong gọi

Trong gọi thì thiết diện là tứ giác .

Gọi

Ta có .

Do nên theo định lí Thales đảo thì lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại nên áp dụng định lí Thales ta được .

Câu 2: Cho hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm lần lượt trên sao cho .

a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh khi thì .

Trả lời:

a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Giả sử cắt tại điểm .

Theo định lí Thales ta có

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh nên .

Từ ta có , mà .

Mà .

Vậy luôn song song với mặt phẳng cố định .

b) Gọi . Ta có

suy ra là trọng tâm của tam giác .

Tương tự là trọng tâm của tam giác .

Gọi là trung điểm của ta có .

Câu 3: Cho hình lập phương cạnh . Gọi là trung điểm của là tâm hình vuông . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (ABCD), (A’ABB’), (A’D’DA), (CDD’C’) với mặt phẳng .

Trả lời:

Gọi thì là trung điểm của , nối cắt và lần lượt tại các điểm và . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Do nên là trọng tâm tam giác nên

Ta có:

Lại có: nên

(Áp dụng hệ thức Herong cho tam giác EGC)

Suy ra .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp đáy là hình thang, đáy lớn . Mặt bên là tam giác đều. Mặt phẳng qua điểm trên cạnh và song song với các cạnh và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Đặt . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng (SAB), (ABCD), SCD), SBC) với mặt phẳng Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

Trả lời:

qua điểm và song song với các cạnh

suy ra .

Hình tạo bởi các giao tuyến là: MQPN.

Ta có mà

Suy ra

Do đó và

Lại có

Ta có : và

Gọi là trung điểm của

Trong đó .

Chiều cao hình tạo bởi các giao tuyến là:

Diện tích

Lại có:

Do đó .

Câu 2: Cho hình hộp . Trên cạnh lấy điểm khác và . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng . Đặt . Tìm để hình tạo bởi các giao tuyến các mặt của hình hộp với mặt phẳng có diện tích lớn nhất.

Trả lời:

Ta có:

Ta dựng

Dựng (xem hình vẽ)

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Giả sử , tứ giác đều là các hình thang cân.

Ta có:

+)

+)

Ta có:

Tương tự ta có:

Do đó diện tích là đạt giá trị lớn nhất khi .