BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Trả lời:

Vì phương chiếu d là SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ (BB’ // AA’; CC’ // AA’; DD’// AA’). Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là một tam giác cân.

Trả lời:

Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.

Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’.

Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. I là trọng tâm tam giác ABC. Xác định hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD).

Trả lời:

Gọi E là trung điểm AB. J là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có: => IJ // CD

=> Hình chiếu song song của I theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm J.

Câu 4: Hình thang có thể là hình biểu diễn của hình bình hành không?

Trả lời:

Hình thang không thể là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.

Câu 5: Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không ? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không ?

Trả lời:

Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là và . Nếu mặt phẳng và mặt phẳng song song với nhau thì . Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.

Nếu và là hai đường thẳng cắt nhau tại và hình chiếu của là thì và tức là và có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Trong mặt phẳng cho một tam giác bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

Trả lời:

Cho tam giác bất kì nằm trong mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng qua và khác với . Trong ta vẽ tam giác đều . Vậy ta có thể xem tam giác cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều theo phượng chiếu lên mặt phẳng .

Câu 2: Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Trả lời:

Với hình lục giác đều ta nhận thấy :

• Tứ giác là hình bình hành (vừa là hình thoi) ;
• Các điểm lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm qua tâm O.

Từ đó ta suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều như sau :

- Vẽ hình bình hành biểu diễn cho hình bình hành .

- Lấy các điểm lần lượt đối xứng của qua tâm , ta được hình biểu diễn của hình lục giác đều .

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.

a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng

tâm của tam giác BCD.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Trả lời:

Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:

- Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD).

- Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I.

Trong tam giác IAB, ta có:

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN // BC’.

Trả lời:

- Phân tích:

Giả sử đã tìm được và sao cho MN // BC.

Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng

thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:

- Cách dựng:

+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).

+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.

+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ cắt DB’ tại M.

Vậy M và N là các điểm cần tìm.

Câu 5: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.

Trả lời:

Gọi là trung điểm của cạnh .

Hình chiếu của là trung điểm của (h.2.18).

nên

nên .

Vậy là trọng tâm tam giác .

Câu 6: Hãy vẽ hình biểu diễn của một đường tròn cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó.

Trả lời:

Giả sử trên hình thực ta có đường tròn tâm cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó là và . Nếu ta vẽ thêm một dây cung song song với thì đường kính sẽ đi qua trung điểm của đoạn . Từ đó ta suy ra cách vẽ sau đây :

a) Vẽ hình elip biểu diễn cho đường tròn và vẽ đường kính của hình elip đó. Đường kính này đi qua tâm của elip.

b) Vẽ một dây cung song song với đường kính . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng cắt elip tại hai điểm và . Ta có và là hình biểu diễn của hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Nhận xét. Hình bình hành là hình biểu diễn của hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Câu 7: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện cho trước là một hình bình hành.

Trả lời:

Cho tứ diện . Gọi là một đường thẳng không song song với các cạnh của tứ diện và là một mặt phẳng cắt . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện và . Khi đó hình chiếu và của và sẽ lần lượt là trung điểm của và .

Muốn cho là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu sao cho song song với đường thẳng .

Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thể chọn :

• Phương chiếu là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước ;
• Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng tuỳ ý, nhưng phải cắt đường thẳng .

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Vẽ hình chiếu của hình hộp lên một mặt phẳng theo phương chiếu không song song với .

Trả lời:

Chọn mặt phẳng chiếu qua và không chứa . Gọi là tâm của hình hộp. Khi đó hình chiếu của các điểm là điểm .

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Hình chiếu của đoạn thẳng là đoạn thẳng nhận làm trung điểm.

Vậy hình chiếu của hình hộp lên theo phương chiếu là lục giác có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Câu 2: Cho hình hộp . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm và không trùng với các đính của hình hộp. Trong hình bình hành lấy một điểm . Hãy xác định hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của hình hộp với .

Trả lời:

Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Gọi là hình chiếu song song của trên theo phương chiếu . Khi đó cắt tại . Vì thuộc nên cắt tại . Goi là giao điểm của với . Nối với cắt và lần li̛ợt tại và .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là ngũ giác .

Câu 3: Cho hai đường thẳng và " chéo nhau. Trên đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau và ở giữa và ) ; trên ' đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau và ở giữa và . Chứng minh rằng

Trả lời:

Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với . Theo định lí Ta-lét, ta cũng có . Xét phép chiếu song song lên theo phương chiếu , ta được hình chiếu của tương ứng là . Khi đó ba điểm thẳng hàng.

Ta có và vì nên giao tuyến của với song song với . Do đó tứ giác là hình bình hành, nên .

Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được . Ta phải chứng .

Thật vậy, vì là trung điểm của nên là trung điểm của cạnh của tam giác . Từ đó dễ thấy tổng hai cạnh và trong tam giác Iớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình hộp Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Xác định đường thẳng qua cắt và cắt .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Hãy tìm tỉ số .

Trả lời:

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cần tìm cắt cả và . Gọi lần lượt là giao điểm của với và .

Xét phép chiếu song song lên theo phương chiếu . Khi đó ba điểm lần lượt có hình chiếu là và . Do đó ba điểm thẳng hàng.

Gọi là hình chiếu của thì là hình chiều-của . Vì thuộc nên thuộc . Vậy là giao điểm của và .

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng theo các bước sau đây :

• Lấy giao điểm của ’ và .
• Trong dựng (đã có ) cắt tại II.
• Vẽ đường thẳng , đó là đường thẳng cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng nói trên cắt .

b) Dễ thấy '

suy ra: .

Do đó là trung điểm của .

Mặt khác // , nên là đường trung bình của tam giác , suy ra

Câu 2: Cho hình hôp .

a) Hãy xác định đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và đồng thời song song với .

b) Goi I, J lần lượt là giao điểm của với AC₁ và BA₁. Tính tỉ số .

Trả lời:

a) Giả sử đã xác định được đường thẳng cắt và lần lượt tại và .

Xét phép chiếu song song lên theo phưong chiếu . Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng lần lượt là ba điểm thẳng hàng . Mặt khác thuộc , nên chính là gịao điểm của và .

Ta dựng đường thẳng theo các bước sau:

- Dựng điểm K là hình chiếu của C₁ (theo phương chiếu D₁B₁).

- Lấy giao điểm J của AK và BA₁.

- Qua J dựng đường thẳng (đã có // ta được đường thẳng cần tìm.

b) Dễ thấy (do )

Vì .

Mặt khác .